的导数是什么（应用拉格朗日中值定理，证明两个重要的不等式）

arctanx的导数是什么（ 应用拉格朗日中值定理，证明两个重要的不等式）

大家好！今天老黄要用拉格朗日中值定理证明两个重要的不等式。这两个不等式在以后的学习中可能会用到，所以一定要理解并记住。这两个不等式如下:

(1)(b-a)/a lt；ln(b/a) lt；(b-a)/a，其中0 < a ltb；(2)h/(1+h^2)lt；arctanh lth，其中h >: 0。

第一个不等式可以理解为:假分数的自然对数大于1减去这个假分数的倒数，小于这个假分数减去1。当然，这里的b/a不一定是分数，可能是无理数。我们这样说只是为了方便记忆。

观察这个不等式，中间的自然对数可以写成:两个自然对数之差lnb-lna。所以可以考虑把自然对数作为辅助函数，而自然对数函数在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，符合拉格朗日中值定理的条件。

所以我们知道(a，b)上有一个点ξ，所以f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)，lnx的导数是1/x，所以f'(ξ)=1/ξ，于是就有(ln b-LNA)/(1/ξ lt；1/a，所以1/b

(1)证书:ln(b/a)= ln b-lna；

记住f(x)=lnx，那么f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，

根据拉格朗日中值定理，存在一个点ξ∈(a，b)，使得

f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ，

1/b < 1/ξ lt；1/a，所以1/b

因此(b-a)/a < ln(b/a) lt；(b-a)/a。

第二个不等式可以理解为:正数的反正切函数值小于正数本身且大于1加上正数的平方。用自己的语言说话可以有效地帮助你理解和记忆。

我们这次要构造的辅助函数是反正切函数。它在[0，h]上连续，在(0，h)上可导，所以根据拉格朗日中值定理，在(0，h)上有一个点ξ，所以f '(ξ)=(arctanh-arctan 0)/(h-0)= arctanh/h .(1+ξ^2)lt；1，所以1/(1+H2)< arctanh/h lt；1，两边同时乘以h，就可以得到要证明的不等式。第二个不等式的证明过程如下:

(2)证明:记住f(x)=arctanx，那么f(x)在[0，h]上连续，在(0，h)上可导，

根据拉格朗日中值定理，有一点ξ∈(0，h)使得

f'(ξ)=arctanh/h=1/(1+ξ^2).

1/(1+H2)<(1+ξ^2)lt；1，所以1/(1+H2)< arctanh/h lt；1,

因此，h/(1+H2)< arctanh lt；h.

我们不仅要记住这两个不等式，还要了解它们的证明过程。

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