关于区间估计介绍

[拼音]：qujian guji

[外文]：interval estimation

参数估计的一种形式。通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计。例如，估计一种药品所含杂质的比率在1～2％之间；估计一种合金的断裂强度在1000～1200千克之间，等等。在有的问题中，只需要对未知量取值的上限或下限作出估计。如前例中，一般只对上限感兴趣，而在第二例中，则只对下限感兴趣。

在数理统计学中，待估计的未知量是总体分布的参数θ或θ的某个函数g(θ)。区间估计问题可一般地表述为：要求构造一个仅依赖于样本X＝(x1，x2，…，xn)的适当的区间[A(X)，B(X)]，一旦得到了样本X的观测值尣，就把区间[A(尣)，B(尣)]作为θ或g(θ)的估计。至于怎样的区间才算是“适当”，如何去构造它，则与所依据的原理和准则有关。这些原理、准则及构造区间估计的方法，便是区间估计理论的研究对象。作为参数估计的形式，区间估计与点估计是并列而又互相补充的，它与假设检验也有密切的联系。

置信区间理论

这是1934年，由统计学家J.奈曼所创立的一种严格的区间估计理论。置信系数是这个理论中最为基本的概念。

奈曼以概率的频率解释为出发点，认为被估计的θ是一未知但确定的量，而样本X是随机的。区间[A(X)，B(X)]是否真包含待估计的θ，取决于所抽得的样本X。因此，区间 [A(X)，B(X)]只能以一定的概率包含未知的θ。对于不同的θ，π(θ)之值可以不同，π(θ)对不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)称为区间[A(X)，B(X)]的置信系数。与此相应，区间[A(X)，B(X)]称为θ的一个置信区间。这个名词在直观上可以理解为：对于“区间[A(X)，B(X)]包含θ”这个推断，可以给予一定程度的相信，其程度则由置信系数表示。

对θ的上、下限估计有类似的概念，以下限为例，称A(X)为θ的一个置信下限，若一旦有了样本X，就认为θ不小于A(X)，或者说，把θ估计在无穷区间[A(X)，∞)内。"θ不小于A(X)"这论断正确的概率为θ)。π1(θ)对不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)称为置信下限A(X)的置信系数。

在数理统计中，常称不超过置信系数的任何非负数为置信水平。

置信系数1-α 反映了置信区间[A(X)，B(X)]的可靠程度，1-α愈大，[A(X)，B(X)]用以估计θ时，犯错误(即θ并不在[A(X)，B(X)]之内)的可能性愈小。但这只是问题的一个方面。为了使置信区间[A(X)，B(X)] 在实际问题中有用，它除了足够可靠外，还应当足够精确。比如说，估计某个人的年龄在 5至95岁之间，虽十分可靠，但太不精确，因而无用。通常指定一个很小的正数α（一般，α 取0.10，0.05，0.01等值），要求置信区间[A(X)，B(X)]的置信系数不小于1-α，在这个前提下使它尽可能地精确。对于“精确”的不同的解释，可以导致种种优良性标准。比较重要的有两个：一是考虑区间的长度B(X)-A(X)愈小愈好。这个值与X有关，一般用其数学期望Eθ(B(X)-A(X))作为衡量置信区间[A(X)，B(X)] 精确程度的指标。这个指标愈小， 置信区间的精确程度就愈大。另一个是考虑置信区间 [A(X)， B(X)]包含假值（指任何不等于被估计的 θ 的值）θ┡ 的概率，它愈小，[A(X)，B(X)]作为θ的估计的精度就愈高。

如果A(X)是θ的置信下限，则在保证A(X)的置信系数不小于1-α的前提下，A(X)愈大，精确程度愈高。这也可以用[A(X) ，∞)包含假值θ┡(θ┡<θ)的概率来衡量，此概率愈小，置信下限A(X)的精确程度愈高。对置信上限有类似的结果，若在某个准则下，一个置信区间（或上、下限）比其他置信区间都好，则称它为在这个准则下是一致最优的。例如，在上述准则下，置信系数1-α的一致最优置信下限A(X)定义为：A(X)有置信系数1-α ，且对任何有置信系数1-α的置信下限A1(X)，当θ┡<θ时，成立

有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率，则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。

最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。

一种是利用已知的抽样分布(见统计量)。例如，设x1，x2，…，xn为正态总体N(μ，σ2)（见正态分布）中抽出的样本，要作μ 的区间估计，记，· 则服从自由度为n-1的t分布。指定α>0，找这个分布的上α/2分位数tα/2(n-1)，则有

即

由此得到 μ 的一个置信系数为 1-α 的置信区间 。类似地可以定出μ的置信系数为1-α的置信上、下限分别为。

另一种是利用区间估计与假设检验的联系，设要作θ的置信系数为1－α 的区间估计，对于任意的θ0，考虑原假设为 H:θ＝θ0，备择假设为 K:θ≠θ0。设有一水平为α 的检验，它当样本X属于集合A( θ0)时接受H。若集合{θ0∶X∈A(θ0)}是一个区间，则它就是θ的一个置信区间，其置信系数为1-α。就上例而言，对假设H:μ＝μ0的检验常用t检验：当时接受μ＝μ0，集合 即为区间 这正是前面定出的μ的置信区间。若要求θ的置信下限（或上限），则取原假设为θ≤θ0（或θ≥θ0），备择假设为θ＞θ0（或θ＜θ0），按照同样的方法可得到所要求的置信下（上）限。

还有一种方法是利用大样本理论（见大样本统计）。例如，设x1，x2，…，xn为抽自参数为p的二点分布（见概率分布）的样本，当n→∞时，依分布收敛（见概率论中的收敛）于标准正态分布N(0，1)，以 uα/2记N (0，1)的上 α/2 分位数，则有。所以，可作为p的一个区间估计，上面的极限值1－α就定义为它的渐近置信系数。

费希尔的信任推断法

20世纪30年代初期，统计学家R.A.费希尔提出了一种构造区间估计的方法，他称之为信任推断法。其基本观点是：设要作θ的区间估计，在抽样得到样本X以前，对θ一无所知，样本X透露了θ的一些信息，据此可以对θ取各种值给予各种不同的“信任程度”，而这可用于对θ作区间估计。例如，设X是从正态总体N(θ，1)中抽出的样本，则服从标准正态分布N(0，1)，由此可知，对任何α<b)有

即

费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度"，若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。

在本例以及其他某些简单问题中，用费希尔的方法与用奈曼的方法得出一致的结果。但是，这两个方法不仅在基本观点上不一致，而且在较复杂的问题中，所得出的结果也不同。一个著名的例子是所谓的费希尔－贝伦斯问题：设两个正态分布μ1，μ2，σ娝，σ娤都未知，要求μ1-μ2的区间估计。费希尔用他的方法提供了一个与奈曼理论不一致的解法，奈曼在1941年曾对此进行了详尽的讨论。

另外，贝叶斯方法（见贝叶斯统计）也是一个重要的构造区间估计的方法。统计决策理论中引进的一些概念和优良性准则，也可用于区间估计。此外序贯方法(见序贯分析)在区间估计中也有了相当的发展。

区域估计

有时要对两个或更多的参数θ＝(θ1，θ2，…，θk)(k>1)，例如正态分布N(μ，σ2)中的μ与σ2，同时进行估计；这时，每当有样本X，就由X在θ的取值的k维空间Rk内定出一个区域Q(X)，而把θ估计在Q(X)内。这种估计叫做区域估计。所用区域一般为比较简单的几何形状，如长方体、球或椭球等。关于区域估计的置信系数、优良性准则及其求法等，与区间估计情况相似。

容忍限与容忍区间

这是一个与区间估计有密切联系的概念，但处理的问题不同。给定β，у，0<β<1，0<у<1，以F记总体分布。若T(X)为一统计量，满足条件，则称 T(X)为总体分布F 的上（β，у）容忍限。类似地可定义下(β，у)容忍限。若T1(X)和T2(X)为两个统计量，T1(X)≤T2(X)，且，则称 [T1(X)，T2(X)] 为总体分布的一个(β，у)容忍区间。例如，X是某产品的质量指标，而F为其分布，则(β，у)容忍区间[T1(X)，T2(X)]的意义是：至少有1-β的把握断言“至少有100(1-у)％的产品，其质量指标落在区间[T1(X)，T2(X)]之内”。可以说，容忍区间估计的是总体分布的概率集中在何处，而非总体分布参数。

参考书目

1. J.Neyman， Outline of a Theory of Statistical Estimation based on the Classical Theory of Probability，Philosophical Transactions of the Royɑl Society， Vol. 236， 1937.
2. 陈希孺著，《数理统计引论》，科学出版社，北京，1981。

参考文章

• 假设检验和总体均数区间估计有何联系？统计学
• 假设检验与区间估计有何区别及联系？统计学