关于单叶函数介绍

[拼音]：danye hanshu

[外文]：univalent function

复变函数中一类重要的解析函数。在复平面区域D上单值的解析函数ƒ(z)，若对D中任意的不同的两点z1、z2有ƒ(z1)≠ƒ(z2)，就称作是单叶的。由著名的黎曼映射定理知道，任意两个至少有两个边界点的单连通区域D1及D2，一定可以相互共形映射，即存在解析的单叶函数ƒ，将D1一一地映射为D2，所以对单叶函数的研究在复变函数论中显得很重要。由于单叶映射也是最简单的映射，所以对它的讨论也是复变函数论中最基本的内容之一。

若解析函数ƒ(z)在D中单叶，则ƒ┡(z)≠0在D中成立；反之，ƒ┡(z)≠0在D中成立，不一定能保证ƒ(z)在D中单叶，只能说在一点的一个邻域内单叶。

最早对单叶函数有重要贡献的是P.克贝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.费伯(1916)等。例如，比伯巴赫证明了重要的偏差定理：若 ƒ(z)在｜z｜<1中正则单叶，且ƒ(0)＝0，ƒ┡(0)＝1，则；等号限于克贝函数时成立。在证明这些不等式时，比伯巴赫讨论了单叶的半纯函数 ，给出了面积原理：g()将││>1映射的区域的余集的面积是非负的，这可写成。由此他证明：若ƒ(z)＝z＋ 在｜z｜<1中解析单叶，则|α2|≤2。由此可导出克贝掩盖定理:｜z｜<1经w =ƒ(z)映射后的像一定掩盖｜w｜< 1/4的圆；当且仅当ƒ(z)为克贝函数时，正好掩盖｜w｜< 1/4的圆。再进一步的结果就是偏差定理。对于单叶函数，有很多有趣的几何性质，如 Γ.М.戈卢津证明了如下回转定理：若 在｜z｜< 1中正则单叶，则对｜z｜＝r时，有|argƒ┡(z)|≤4sin-1r，当;，当。又如戈卢津证明了n-截线定理:若ƒ(z)=z+在z<1中正则单叶，w =ƒ(z)将｜z｜<1映为R，则一定存在从w =0出发在R 内的n 条射线，两条相邻射线的夹角为2π/n，使得这n条射线的总长至少为n。1916年，比伯巴赫提出了一个猜想:若在|z|<1中正则单叶，则|αn|≤n对所有n都成立，等号成立限于克贝函数。这个猜想称为比伯巴赫猜想，它曾经是单叶函数的研究的中心问题。1925年，J.E.李特尔伍德证明了|αn|n， 此后迭经改进，其中重要的一步是1965年И.М.米林应用他创造的方法证明了|αn|<1.243n。另外，1972年C.H.菲茨杰拉尔德建立了重要的不等式，证明了。1923年K.勒夫纳创造了参数表示法，证明了|α3|≤3。1955年，P.R.加拉贝迪安与M.M.席费尔应用变分法证明了|α4|≤4。1960年Z.恰尔任斯基和席费尔应用格伦斯基不等式简化了证明。沿用这个方法，1968年，R.N.佩德森和小沢满各自证明了|α6|≤6。1972年，佩德森和席费尔证明了|α5|≤5。另外可以证明，对于一些特殊函数类，比伯巴赫猜想成立，如星象函数、近似凸函数、实系数函数等。1955年W.K.海曼证明了，等号成立限于克贝函数。即对于一个固定的，在｜z｜<1中解析单叶的函数，当n充分大时，比伯巴赫猜想成立。

由比伯巴赫猜想产生了一系列相关的猜想，如米林猜想，罗伯森猜想，希尔斯莫尔猜想，罗戈辛斯基猜想，李特尔伍德猜想等，其中最重要的是米林猜想；若ƒ在D中正则单叶且ƒ(0)=0，ƒ┡(0)=1，，则，对所有n=1，2，…都成立。可以证明米林猜想导出比伯巴赫猜想。1984年L.de布朗基结合勒夫纳方法及米林方法证明了米林猜想，从而证明了比伯巴赫猜想。历时68年终于证明了这个著名的猜想。

参考书目

1. W.K.Hayman，Multivalent Functions，Cambridge Univ.Press， Cambridge， 1958.
2. J.A.enkins，Univalent Functions and ConforMal Map-ping，Springer-Verlag， Berlin，1958.
3. L.de Branges，Acta MatheMatica，154， pp. 137～152，1985.