关于霍奇理论介绍

关于霍奇理论介绍,第1张

关于霍奇理论介绍

[拼音]:Huoqi lilun

[外文]:Hodge theory

关于调和微分形式的理论。

19世纪德国数学家(G.F.)B.黎曼利用狄利克雷原理,将单复变量的代数函数及其积分,和一系列函数类的存在,建立在黎曼曲面的拓扑和势的构造上。这门学问推广到高维流形时,霍奇理论进一步揭示了分析与拓扑之间的深刻联系,给当代流形上分析的整体研究以巨大影响。这个理论为英国数学家W.V.D.霍奇首创于30年代,而后为小平邦彦等数学家大大发展与应用。

Mn维黎曼流形,在局部坐标系(x1,x2,…,xn)中,黎曼度量表示成 。记矩阵G =(gij),G-1=(gjk),g =detGM上的任一rC∞微分形式φ在该坐标系中可表示成φ= 其中系数均是C∞函数且关于下指标反对称。M上的这种r阶形式全体记为Er。设ψ∈Er,令

定义

它不依赖局部坐标的选取。因此可用来定义Er中的内积与范数:

Er上定义外微分算子d如下:对于函数ƒE0,=;对于。 令δ:为d关于上述内积的形式共轭算子,即对于ω∈Er+1,在φω 二者之一有紧支集时成立(dφω)= (φ,δω)。定义 Δ: Er→Er为,称它是M上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。在M是欧氏空间,r=0的情形,Δ即为普通的拉普拉斯算子。

利用线性算子*:Er→Enn-r(*算子或霍奇算子)可将δ,从而Δ明确地局部表示出来。算子*满足条件。在局部坐标系中,它可写成

这里是指标(j1…jrk1…kn-r)的置换符号,,这里I为恒同算子,(*φ,*ψ)=(φψ)。利用这些性质可以推出。上述这些算子尚有下列关系:,。

满足方程dφ=0的φ称为闭微分形式。若存在α,使φ=dα, 则φ称为正合微分形式。由于d2=0,正合形式必是闭的。若dφ=0,δφ=0同时成立,称φ为调和微分形式。德·拉姆定理指出,德·拉姆上同调群{闭的rC∞微分形式}/{正合的rC∞微分形式}与实系数的r 阶奇异上同调群同构,而霍奇理论即要表明在每个上同调类中是否存在调和的微分形式。

紧黎曼流形

M是紧的黎曼流形,则Δφ=0意味着φ调和,因为(Δφφ)=(dφ,dφ)+(δφ,δφ),从而dφ=0,δφ=0。记lr为Er按上述范数完备化的希尔伯特空间,那么d,δ,Δ均可扩充定义到整个lr上。这时δ为d的共轭算子,Δ为自共轭的椭圆型算子。对于Δφα的任一弱解φ,在αC∞微分形式时,φ也是C∞的。因此任一调和微分形式均是C∞光滑的。以Hr记Mr阶调和微分形式全体,P:lr→Hr为射影算子,那么霍奇理论的中心结果为下述分解:

(1)lr=Δ(lr)Hr=d(lr_1)δ(lr+1)Hr。

易知对任一α∈Δ(lr),Δφ =α在Δ(lr)中的解惟一。

(2)存在格林算子G:lr→Δ(lr),Gα=φ,对β∈Hr,Gβ=0。

由定义,GP=PG=0, P+ΔG =I,Gd=dG,Gδ=δG,于是对每个φlr,dφ =0者, 由①得φ=dδGφ +Pφ。它表明调和形式Pφφ在同一个德·拉姆上同调类内,且是这个类中惟一的调和形式。

(3)实系数的r阶奇异上同调群与 r阶调和形式空间Hr同构。

(4)Hr为有限维向量空间。若记hr=dimHr,ⅹ(M)为M的欧拉示性数,则ⅹ(M)=∑(-1)rhr。

如果考虑带有某种奇性的微分形式所构成的希尔伯特空间时,就得到黎曼曲面上第二、三类阿贝尔微分的推广。

全纯向量丛

πEM是秩为l的全纯向量丛。M是紧的复m 维埃尔米特流形。令A(p,q)(E)为系数在E 中的C∞(pq)形式全体。{Tjk}是定义在M的坐标覆盖{Uj}上能确定E的转移函数矩阵。这时 φA(p,q)(E)在Uj上表示成这里在UjUk上成立 这里 是矩阵Tjk的元素,均是全纯函数。定义。因为,所以这个定义不依赖局部坐标的选取。

E 的纤维上的埃尔米特形式是由每个Uj上给出一个正定形式确定的。以hj记矩阵(),那么应满足条件。设M上的埃尔米特度量在Uj上表示为,在A(p,q)(E)内引入内积如下:对于φ,ψ∈Ap,q(E),记。这里然后内积与范数分别为

令为扺关于上述内积的共轭算子,作E值(pq)形式φ称为扺闭的,如果扺φ=0,称为扺 正合。如果存在αAp,q_1(E)使φ=扺α,且□φ=0,称φ为调和的E值(pq)形式。它等价于扺φ=0, 扺*φ=0同时成立,记其全体为Hp,q。令lp,q为Ap,q(E)按上述范数的完备化,它到Hp,q的正交射影仍记为P,那么成立:

(2)存在格林算子G:lp,q→□(lp,q),在□(lp,q)上一一。Gφ=0,φ∈Hp,q。□G+P=I。

(3)若φ为闭形式,则Pφφ在同一个多博尔特上同调类即/{扺-正合的E值(pq)形式}。

(4)Hp,q为有限维向量空间。

凯勒流形

M为紧的凯勒流形,它的凯勒度量为。将它看做M上的埃尔米特度量,考虑M上的平凡线丛E=M×CC上的欧氏度量。按上面的构造方法有对应的算子□。另一方面作为M上的黎曼度量有对应的算子Δ 。在凯勒条件下成立Δ=2□。因此除了前面的一些结论外,尚有

若记,则x(M)=。一个简单的推论即为凯勒流形的第奇数个贝蒂数为偶数。

M是非紧流形时,对于不同的微分形式所构成的希尔伯特空间有相应的空间分解。当M为某个流形上有边界的区域时,将导致各类纽曼问题。特别地, 当M是复流形中有光滑边界的区域时,产生著名的扺-纽曼问题,它对于多复变函数论、超定微分方程组、拟微分算子等学科的发展起了重大作用(见多复变函数论)。

由霍奇理论可知底流形的拓扑影响着调和形式的存在与否,存在多少;反过来,由流形的度量往往能够知道调和形式的存在与否,从而产生了许多上同调群的消隐定理。

参考书目
  1. W.V.D.Hodge,The Theory and Applications of harmonic Integrals,2nd ed., Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1952.
  2. K.Kodaira,Harmonic Fields in Riemannian Manifolds,Ann. of Math.,50, pp. 587~665, 1949.
  3. K.Kodaira,On a Differential-Geometric Method in the Theory of Analytic Stacks,Proc. nat.Acad. Sci. U. S. A.,39, pp. 1268~1273, 1953.
  4. J.J.Kohn,Harmonic Integrals on Strongly Pseudoconvex Manifolds, I,Ann. of Math.,78, pp. 112~148, 1963;Ⅱ,Ibid,79, pp. 450~472, 1964.
  5. S.Nakano,On Complex Analytic Vector Bundles,J. Math. Soc.Japan 7, pp. 1~12, 1955.

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