关于超越方程数值解法介绍

[拼音]：chaoyue fangcheng shuzhi jiefa

[外文]：numerical method of transcendental equations

当一元方程ƒ(z)=0的左端函数ƒ(z)不是z的多项式时，称之为超越方程。这类方程除极少数情形（如简单的三角方程）外，只能近似地数值求解，此种数值解法的研究至今仍是计算数学的主要课题。超越方程的数值解法也适用于代数方程。

数值求解超越方程时首先需要确定解的分布区域，它可以利用图解法或者根据ƒ(z)的解析性质来确定。当ƒ(x)为实函数时，确定方程实根的分布的最常用方法是应用连续函数的中值定理：如果实的连续函数ƒ(x)在区间[α，b]的两个端点的值异号，则ƒ(x)在此区间内至少有一个根。

二分法

利用中值定理计算实函数实根的简单易行的方法，算法如下：

设区间[α0，b0]满足条件ƒ(α0)ƒ(b0)<0，[α0，b0]的二等分点为计算ƒ(x0)的值，若ƒ(x0)=0，即为所求解;若ƒ(x0)ƒ(α0)<0，取α1=α0，b1=x0作为新的区间端点;若ƒ(x0)ƒ(α0)>0，取α1=x0，b1=b0作为新区间的端点。[α1，b1]的二分点为计算ƒ(x1)的值并重复上述步骤以确定新的区间[α2，b2]，如此继续下去。则得到区间序列 [αk，bk](k=0，1，…)，它满足ƒ（αk）ƒ（bk）<0，并且当bk-αk达到指定的精确度要求时，则取为方程的解，它与精确解的误差不超过

迭代法

解超越方程的主要方法，既适用于求实根，也适用于求复根。使用这类方法时一般需要知道根的足够好的近似值。最常用的方法有牛顿法、割线法、二次插值法、双曲插值法、切比雪夫迭代法、艾特肯δ2加速方法和斯梯芬森方法等。

也称切线法，其计算公式为

z0为事先选定的根的初始近似。设z为 ƒ(z)的根，若ƒ(z)在z的某邻域内二次可微，且ƒ┡(z)≠0，则当z0与z充分接近时，牛顿法至少是二阶收敛的，即当k充分大时有估计式成立，C为确定的常数。一般说来，牛顿法只具有局部收敛性，即仅当初始近似与根充分接近时才收敛。但是，当ƒ(x)为实函数，且于[α，b]上ƒ┡(x)和 ƒ″(x)不变号时，若ƒ(x)于[α，b]上有根，则只要初始近似x0满足条件ƒ(x0) ƒ″(x0)>0，牛顿法就收敛。一般情形，为减弱对初始近似的限制，可利用牛顿下降算法，其算式为

ωk>0为迭代参数，由条件│ƒ(zk+1)│<│ƒ(zk)│确定，牛顿法的k+1次近似 zk+1是ƒ(z)在zk处的泰勒展开式的线性部分的根。

又称弦位法，其算式为

z0、z1为初始近似。若ƒ(z)于其根z的某邻域二次连续可微，且ƒ┡(z)≠0，则z0、z1与z充分接近时，割线法收敛于z，并当k充分大时有估计式式中C为常数，割线法的k+1次近似zk+1是以zk、zk-1为插值节点的线性插值函数的根，如果利用更精确的近似表达式则可构造出更高阶的迭代法。

亦称缪勒方法，是利用二次插值多项式构造的迭代算法。设已确定了zk、zk-1、zk-2，则zk+1就取为以 zk、zk-1、zk-2为节点的二次插值多项式两个根中与zk最接近者，其算式为

式中“±”号选成使分母的模为最大者，而－式中 当分母为0，则λk=1。

利用线性分式插值构造的迭代算法，其算式为

式中μk、δk、Δzk和ƒk的意义与二次插值法相同。

若ƒ(z)在其根z的某邻域内三次可微，并且z0、z1、z2与z充分接近，则二次插值法和双曲插值法均收敛。此外，如果ƒ┡(z)≠0，对充分大的 k，有估计式 式中 C为确定常数，τ为方程式t3-t2-t-1=0的惟一正根，τ＝1.839…。

三阶收敛的方法，其算式为

当ƒ(z)在其根z的邻域内三次可微且ƒ┡(z)≠0时，对充分大的k，有C为确定常数。

提高迭代法收敛速度的有效算法，设{zk}为迭代序列，δ2加速的算式为

若ƒ(z)在其根z处充分光滑，且ƒ(z)≠0，则对充分大的k，有并且若zk是p(p>1)阶收敛，即C0均为常数。当ƒ┡(z)=0时也有加速作用。此算法可以循环使用。

不算微商而二阶收敛的方法，其算式为

它可由迭代算法循环使用 δ2程序导出。

所有的迭代法用于求重根（即ƒ┡(z)=0）时， 其收敛速度将变慢，收敛阶将降低。

为求得达到所需精度的解而花费的代价是评价迭代法优劣的依据，效能指数是其重要指标，它定义为p1/寶，p 为收敛阶，μ 为每步需要计算的函数值和微商值的总数。效能指数越大，说明方法越好。二分法及上述各种迭代法的收敛阶（单根时和重根时）和效能指数如表。

只有当初始近似与解充分接近时，迭代法才收敛，这是所述算法的共同特点。减弱对初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例如，牛顿法中引进下降因子。对一些特殊函数类（如单调函数，只有实根的解析函数等）的大范围收敛迭代算法也有一些研究工作。

参考书目

1. A.Ostrowski，Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces， 3rd ed.， Academic Press， New York， 1973.
2. J.F.Traub，Iterative Methods for the Solution of Equations， Prentice-Hall， Englewood Cliffs， New Jersey， 1964.