关于Hp空间介绍

[拼音]：Hp kongjian

[外文]：Hp space

又称哈代空间，勒贝格空间(lp)以外重要的函数空间之一。

单变量的hp空间，最早来源于复变函数论。设F(z)在复平面的单位圆D(｜z｜<1)内解析，量

(1)刻画了F 的模的p 次幂在圆周 ｜z｜=r上的平均值的大小。假如它对0＜r＜1有界，其中0＜p＜∞，则称F是属于hp(D)的。当p≥1时，用μp(F，r)在0＜r＜1的上确界定义F 的hp 模，即

，则hp(D)组成一可分的巴拿赫空间，当 0＜p＜1 时，用的上确界定义F 与G 的距离，即

，则hp(D)组成一可分的完备的度量空间。hp(D)是复变函数论的一个重要的研究对象。

可以证明，当F∈hp(D)(0<p<∞) 时，F(z)在单位圆周上的边值几乎处处存在，即

。这时ƒ(θ)定义在0≤θ≤2π上（也可以看作一周期为2π的函数），且满足相应的不等式

。 (2)这样，在这些以2π为周期的复值函数ƒ(θ)与单位圆内的hp(D)中的函数 F(z)之间，建立了一个对应关系：ƒ(θ)是F(z)在｜z｜=1的某种意义的边值，而F(z)是ƒ(θ)到单位圆内的解析开拓。全体这样的ƒ(θ)记作hp(T)。它是与hp(D)同构的一个空间。hp(T)同以 2π为周期的勒贝格空间lp(T)的区别在于:hp(T)的函数ƒ(θ)不仅满足不等式(2)，而且它还必须是某个满足

的单位圆内的解析函数F(z)的边值。由此不难证明，当p>1时，hp(T)同构于lp(T)，但当0＜p≤1时，两者就不同构了。例如在p =1时，h1(T)本质上不同于l1(T)。事实上h1(T)同构于l1(T)的一个真子空间，它由全体使得愝(θ∈l1(T)的ƒ∈l1(T)组成，其中愝(θ)是ƒ(θ的共轭函数，其定义由下面的等式给出

。并且的大小与 的大小是差不多的。历史上，1915年英国数学家g.h.哈代引入了hp函数类，1923年匈牙利数学家f.（f.）里斯证明它们是完备的赋范空间或度量空间，并命名它们为哈代空间或简称hp空间。

对于上半平面内的解析函数F(z)，其中z=x+iy，可以类似地用

在y>0上有界来定义。这时它们的边值

就是定义在实数轴R上的函数，而不是周期函数了。全体这样的函数记作hp(R)。

在傅里叶分析中，有很多定理对lp(p>1)成立，对l1并不成立，但对h1， 相应的结果却是对的。典型的例子是哈代-李特尔伍德定理:如果ƒ∈lp(T)(1<p≤2)是周期函数，它的傅里叶级数是，则

。这定理对p=1是不正确的。但可改为，若ƒ∈h1(T)，ƒ(θ)的傅里叶级数为，则定理的结果对p=1成立，即

。由此可见，在讨论傅里叶分析的许多问题中，hp是较lp更为合适的空间（当0<p≤1）。

多变量hp空间的建立却要晚得多，这是因为单元hp空间的定义紧密依赖于单元解析函数，然而形式地通过多元解析函数来定义多元hp空间，由于多元解析函数较单元解析函数复杂得多，未能得到预期的结果，因此需要寻求另外的办法。1960年E.M.施坦和G.韦斯把上半平面的解析函数的实部与虚部的概念推广到 n+1维欧氏空间的上半空间，得到共轭调和函数系的概念。在的前提下，定义了。与上半平面的情形相类似，共轭调和函数系在y→0+时的边值函数构成hp(Rn)。1964年A.P.考尔德伦与A.赞格蒙把 的条件改进为p>0，但形式上十分复杂。把hp(R)了解为hp(R崹)的广义函数意义的边值， 1970年D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪与M.L.西尔弗斯坦证明了广义函数ƒ是hp(R)(p>0)中某个元素的实部的充分必要条件是极大函数

(3)式中φ(x)是具有一定光滑性且在无穷远附近的大小受一定限制的函数，，*表示卷积。1972年C.费弗曼和斯坦把这个结果推广到了多元的情形。值得注意的是，M(ƒ∈lp这条件完全和解析函数的概念无关，它给出了hp空间的实变函数论特征。这样，就可以用类似于(3)的条件来定义 hp(Rn)本身而无须借助任何解析函数或调和函数的概念了。

1972年费弗曼和施坦还证明了，h1(Rn) 的对偶空间是bmo 空间。h1和BMO对偶关系的发现，使人们对这两个空间的认识深入了一大步。它们已经成了Lp(Rn)(1≤p≤∞)空间理论的必不可少的补充。

近年来，数学家还找到了hp空间的许多其他特征，使hp空间有许多的推广。傅里叶分析、复分析、泛函分析以及偏微分方程的许多问题，都是在hp空间与BMO空间中进行讨论的。此外，hp空间和BMO空间理论也进入到了概率论的鞅论中。