关于可微映射的奇点理论介绍

[拼音]：kewei yingshe de qidian lilun

[外文]：theory of singularities of differentiable mappings

一门年轻的数学分支，也是现代数学中得到蓬勃发展的领域之一。

追溯其历史渊源，有20世纪30年代H.M.莫尔斯的临界点理论，40年代H.惠特尼的微分流形嵌入、浸入有关的奇点的工作，以及Л.С.庞特里亚金与惠特尼等人研究的与示性类有关的奇点方面的工作。这一时期是成果积累和建立一般理论的酝酿阶段，也是奇点理论的萌芽时期。

1955年惠特尼发表了关于把平面映射到平面的映射奇点的工作，它标志着奇点理论开始作为一门独立的分支登上了数学的舞台。1956年R.托姆发表了一篇题为《可微映射的奇点》的论文，对以后整个奇点理论的发展提出了一个纲领式的描述。1960年R.托姆在波恩又作了一系列的演讲，把他的纲领式的描述更加具体化。从此以后，在这个基础上奇点理论得到了蓬勃的发展。一方面是理论本身取得了重大进展，如J.N.马瑟的关于稳定性方面的一系列工作，以及Β.И.阿诺尔德等人关于奇点分类方面的工作；另一方面是奇点理论在自然科学中的应用上也取得了出人意料的突破，如60年代末R.托姆提出的突变理论，70年代阿诺尔德把奇点分类应用在物理学中的振荡积分的计算上。

正常点、奇点

无穷多次可微的映射简称为可微映射。设ƒ:Rn→Rm是可微映射，ƒ=(ƒ1，ƒ2，…，ƒm)，点α∈Rn，矩阵的秩称为ƒ在点α的秩，记作rankƒ。如果rankƒ＝min(n， m)，称α是ƒ的正常点；若rankƒn，m)，就称α为ƒ的奇点。

奇点的研究有着广阔的背景。首先，微积分学的基本任务之一是研究函数在一点附近的性态，即所谓局部性质。在微积分中，对可微函数y=ƒ(x)，有下面的结果。

（1）如果ƒ(x)在点α的导数ƒ′(α)≠0，即α是ƒ的正常点，则在点α附近ƒ有反函数存在(即反函数定理)。这时ƒ在点α附近的性态很简单，甚至可以在点α附近另选局部坐标t，x=φ(t)，使得在这个新坐标系中ƒ的分析表达式为：ƒ(φ(t))=t。

（2）如果ƒ′(α)=0，即α是ƒ的奇点，那么这时ƒ在点α附近的性态就比较复杂。可分为三种情况:如果ƒ′(α)=0，但ƒ″(α)>0，则ƒ(α)是ƒ在α附近的极小值；如果ƒ′(α)=0，ƒ″(α)<0，则ƒ(α)是ƒ 在α附近的极大值；如果ƒ′(α)=0，但ƒ″(α)=0，而ƒ冺(α)≠0，则α是ƒ 的拐点。

由此可见，正是在奇点附近函数ƒ有着丰富多彩的性质。对于多元可微函数以及微分流形之间的可微映射，情况又如何呢？奇点理论研究这些问题。在数学的许多分支中都要研究各种方程的解集合。例如，在代数学中要研究多项式的零点集，在代数几何中要研究多变量的多项式方程组的解集，即代数簇。像上面这些学科一样，局部分析中最一般的问题是研究下面方程组的解集：

(1)

这里gi是实值无穷次可微的函数。在这里由于已知的信息很少，即仅知道这些函数gi是无穷多次可微的，因此情况更复杂，事实上惠特尼证明了欧氏空间Rn中的任意闭子集都可是可微函数的零点集。Rn中的闭集可以很复杂，以至难以研究它。究竟是可微映射的什么性质影响着它自身的零点集的性态呢?例如，考虑方程组(1)，以A记这个方程组的解集。如果在点α∈A，矩阵

(2)

的秩为k，则由隐函数定理就知道在点α附近方程组(1)可解出为显函数。如设矩阵为满秩的，那么在点α附近，由方程组(1)就确定出函数

这就是说在点α的一个领域里点集A是Rn中的微分子流形，即Rn中的n－k维光滑曲面。而使得矩阵(2)的秩为k的点就是映射g:Rn→Rk，g=(g1，g2，…，gk)的正常点。这说明如果点α是映射g=(g1，g2，…，gk)的正常点，那么方程g=0的解集A在点α邻近就是一微分流形。

再如，设ƒ(x1，x2，…，xn)是可微函数，如果在点α∈Rn有就称α为ƒ的临界点；如果此外还有矩阵是满秩的，就称α为ƒ的非退化的临界点。

考虑方程ƒ(x1，x2，…，xn)=0解集A，α∈A，集A在点α的局部性态如何？30年代M.莫尔斯证明了下述定理：如果点α是ƒ(x1，x2，…，xn)的非退化临界点，则可在点α附近选取适当的坐标系(y1，y2，…，yn)，使得在坐标系(y1，y2，…，yn)中ƒ的分析表达式为：

由此可见，如果α∈A是ƒ的非退化临界点，则在点α邻近点集A 就是一个二次锥面。临界点就是奇点。非退化临界点是一种特殊类型的奇点。ƒ在点α的奇点性质影响着点集A在点α附近的性态。因此要研究函数方程的解集的性态就必须研究可微映射的奇点。由此也可以看到研究奇点的必要性。

可微映射的芽

设α∈Rn，考虑确定在点α附近的所有映入Rm的映射作成的集合，在其中引进等价关系如下：ƒ:U →Rm，g:V →Rm是两个可微映射，U、V是点α的两个邻域，如果存在点α的邻域W，W 嶅U ∩V，使得当x∈W 时有ƒ(x)=g(x)，则说ƒ和g是等价的。在这个等价关系下的等价类就称为可微映射在点α的芽。

映射的C∞等价

设M、N是两个微分流形，ƒ、g:M→N是两个可微映射，如果存在微分同胚h:M→M，k:N→N，使得g=kƒh-1，就说ƒ和g是C∞等价的。

对可微映射的芽也可类似地定义C∞等价性。

分类问题

以C∞(M，N)记为把M映入N的所有可微映射作成的集合，并以适当的方式赋以拓扑。同样地，以ε(n，m)记从Rn到Rm的所有可微映射在原点的芽构成的集合，也可以适当的方式引入拓扑。C∞(M，N)称为映射空间，ε(n，m)称为映射芽空间。奇点理论的基本问题之一就是确定出空间C∞(M，N)，ε(n，m)在所引进的C∞等价关系下的所有等价类，这就是所谓的分类问题。对映射芽希望能在每个类里选一个代表元，并选取适当的坐标系，使得这个代表元在所选的坐标系里有简单的表达式，这就是所谓求标准型的问题。

C∞等价的映射具有微分同胚的奇点集。按前述惠特尼定理可以推出Rn中的任何闭集都可以是某个可微映射的奇点集，因此可微映射的分类是这样广泛，它比Rn的所有闭集的分类还要广，这样的分类问题显然难以解决。而从实际背景来讲，并不是对所有映射都有兴趣，重要的是那些所谓稳定的映射及稳定的映射芽，因此可限于研究稳定的映射。定义:可微映射的ƒ:M→N 称为C∞稳定的，如果存在ƒ在C∞(M，N)里的领域U，使得U里的每个映射都C∞等价于ƒ。

对可微映射芽也可以类似地定义C∞稳定性。

例如，ƒ:R→R，y=ƒ(x)=x2，考虑ƒ在原点的芽。如果稍微扰动一下ƒ，这里“稍微”的含义不仅要求其函数值变动很小，而且要求各阶导数变动也很小，那么可以看出扰动后的映射与原来的映射ƒ的拓扑图像是一样的，即它们是等价的，所以函数y=x2在原点是稳定的（图1，其中虚线表示扰动后的映射）。

再如，ƒ:R→R，y=ƒ(x)=x3，考虑ƒ在原点的芽。给函数y=x3以一个小扰动ux（u为很小的实数），就得函数x3+ux，当u<0时它在原点附近有两个临界点，当u<0时它在原点附近没有临界点。因此它们与x3是不等价的，所以函数y=x3在原点是不稳定的(图2)。

从稳定性的定义可见所有稳定映射在C∞(M，N)里作成开集。

既然只限于研究稳定映射，因此重要的问题是：它们是否有普遍的意义，即它们是否足够多，使得任何一个映射都可以用稳定的映射来逼近它？对稳定的映射是否能够分类？

精确地说即：所有稳定映射在映射空间C∞(M，N)里是否构成稠密集？是否存在有限多个可微映射芽愝:(Rm，0)→(Rn，0)，这里m=dimM，n=dimN，使得如果ƒ:M→N是稳定的，那么ƒ在任何点p∈M的芽都等价于这有限多个芽中的一个?

关于第一个问题，J.N.玛瑟在1971年证明了下面重要定理:设Mm，Nn是两个微分流形。所有逆紧的稳定映射在C∞(Mm，Nn)里作成稠密子集的充要条件是m，n满足下面条件：

（1）n<7s+8，当s≥4，②n<7s+9，当3≥s≥0，③n<8，当s=-1，④n<6，当s=-2，⑤n<7，当s≤-3。这里s=n-m。

第二个问题也是玛瑟解决的，但在这里只提出两个在特殊情况下的著名结果。

其一，设Mm是紧致的微分流形，则有下面结果。

（1）所有稳定映射ƒ:Mm→R在C∞(Mm，R)里作成稠密子集。

（2）ƒ 在点p∈M是稳定的充要条件是可以分别在点p∈M和ƒ(p)∈R的邻域里引进局部坐标(x1，x2，…，xm)和y，使得在此坐标系中ƒ为下面m+2个映射之一：

（3） ƒ:M→R是稳定的充要条件是：ƒ在每点都是稳定的，即ƒ的所有临界点都是非退化的；ƒ的临界值两两皆不相同。

其二，设M2是紧致曲面，则有下面结果。

（1）所有稳定映射ƒ:M2→R2在C∞(M2，R2)里作成稠密子集。

（2）ƒ 在点 p∈M是稳定的充要条件为可分别在p和ƒ(p)的邻域里引进局部坐标(x，y)和(u，v)使得ƒ在此坐标系中为下面三个映射之一：u=x，v=y(正常点)，u=x，v=y2(折叠点)，u=x，（尖点）。

（3）ƒ:M2→R2是稳定的充要条件是：ƒ在每点p都是稳定的，折叠点在ƒ下的像仅成双地相交成非零角，而且尖点在ƒ下的像不与折叠点的像相交。

参考书目

1. M. Golubitsky and V.Guillemin，Stable Mappings and Their Singularities，Springer-Verlag，New York，1973.
2. J.Martinet，Singularities of Smooth Functions and Maps，Cambridge Univ. Press， London， 1982.