关于方差分析介绍

[拼音]：fangcha fenxi

[外文]：analysis of variance

分析实验数据的一种重要的数理统计学方法。其要旨是对样本观测值的总变差平方和进行适当的分解，以判明实验中各因素影响的有无及其大小。这是由R.A.费希尔1923年首创的。设Y1，Y2，…，Yn为n个观测值，为平均值，称为Y1，Y2，…，Yn的变差平方和，简称总平方和，它反映观测值在平均值上下波动的大小。当观测值受到多种因素的影响时，每一因素都对平方和的值有影响，若能从平方和中分解出反映某一因素影响的那一部分(也用平方和的形式表示)，则由这部分的大小就可以推断该因素的影响是否显著。但是，若试验未经适当的设计，则所产生的数据难以进行平方和分解与相应的统计推断。因此方差分析和实验设计法是密切相关的，不同的实验设计相应于不同的方差分析形式，而方差分析理论对实验设计的选择又有指导作用。例如，进行一项作物品种与肥料的农业试验，品种和肥料就是所考虑的两个不同的因素，而各因素的不同取“值”，称为该因素的水平。假定有α个品种A1、…、Aα与b种肥料B1、…、Bb供选取，在水平Ai和Bj的组合条件下的试验称为一个处理。在这试验中，全部可能的处理数目共有αb个，即为因素A（品种）与因素B（肥料）的各自水平数的乘积。设每个处理种r块试验田，以Yijk)记用第i个品种、第j种肥料在第k个重复试验的地块上所得试验的亩产量，对不同的(i，j，k)，Yijk)之值各不相同，它的总变差平方和为(是全部Yijk)的平均值)，它反映了品种、肥料以及随机误差(它包含土壤的不均匀性等大量的不可控因素)的影响，通常又称总平方和。在这种两因素试验情况下总平方和可以分解为四部分

， (1)

式中

(Yijk)-Yij.)2，而Y为固定i对一切j、k求Yijk)的平均值，Y.j.与Yij.有类似的含义。SSA和 SSB分别反映因素A和B各自对SST的贡献，分别称为因素A和B的主效应平方和。SSAB反映由因素A、B的相互影响而对SST的贡献，称为A、B的交互效应平方和。SSe反映随机误差的影响，通常称误差平方和。每项平方和都对应着一个“自由度”，就上例而言，SSA、SSB、SSAB、SSe的自由度分别为α-1、b-1、(α-1)(b-1)和αb(r-1)。 分别记之为ƒA、ƒA、ƒe和ƒe。总平方和SST的自由度 ƒT定义为总的观测次数减去1，即αbr-1，它恰好是ƒA、ƒA、ƒe和ƒe之和，即有类似于(1)的分解式

(2)

平方和除以各自的自由度称为均方，记为M S，例如

SSA/(α-1)，等等。诸因素效应的大小，用它的均方与误差均方的比值(记为F)的大小来衡量，例如，FA=M SA/M Se，反映因素 A的主效应对亩产的影响；FB＝M SB/M Se反映因素B 的主效应对亩产的影响；则反映 A与B交互效应对亩产的影响。综上结果，可以列成一个方差分析表（表

）。

前述例子的模型可写为

Yijk)=μ＋αi＋βj＋γij＋εijk)， (3)

式中i=1，…，α；j=1，…，b；k=1，…，r；μ称总平均；αi、βj分别称品种(A)与肥料(B)的主效应，γij称A、B的交互效应，并且满足约束条件：。εijk)是随机误差。这是一个以μ、αi、βj及γij(i=1，…，α；j=1，…，b)为参数的线性模型(见线性统计模型)。“品种无主效应”这个假设，可表为 HA:αi=0，i=1，…，α，这是一个线性假设。在随机误差εijk)独立、等方差及正态假定下，可用似然比（见假设检验）方法检验这个假设，所得检验统计量正是上表中的FA=M SA/M Se，它是自由度为ƒA与ƒe的F 统计量。类似地可检验 和

在检验假设被拒绝后，就有估计效应及对之排序等问题，解决这种问题的工具是线性模型的估计理论以及多重比较的方法。

上例是一个典型的两种方式分组的方差分析问题，所谓“两种方式”即指按品种和肥料两个因素将试验数据分成αb组。一般地有多种方式分组问题。上例中涉及的品种等都是特定的，因此模型(3)中的效应看作固定参数，故称固定效应模型。如果讨论“品种对产量的影响”这种抽象形式的问题，这时设想有一个无限品种的集合，试验中所涉及的α个品种，只是作为全体品种的代表从品种集合中随机抽出的，这时模型(3)中效应不能看成一个参数而应看作随机变量。若所有效应均为随机变量，则称随机效应模型。若模型中兼有固定和随机两种效应，则称混合效应模型。一般，随机效应模型的方差分析在形式上与固定效应大体一致，但在作F检验(见假设检验)时有一些差别。

方差分析的思想也用于回归分析的假设检验。若在方差分析模型中有未加控制的系统性因素出现，则得到协方差分析模型。如上例，根据在生长期间各试验地块虫害的轻重程度，施用不同量的农药，记X为农药用量，它可能是影响产量的系统因素，如模型中不加考虑，必将降低分析精度。考虑的方法是在模型 (3)中加进一项反映该因素影响的量δXijk)，即

，

式中Xijk)为第i个品种、第j种肥料、第k个重复地块上的使用农药量。δ 为待估的回归系数。上述模型仍是一个线性模型，只不过模型中有连续取值的回归变量X和离散取值的方差变量A和B。因此，协方差分析可看成回归分析与方差分析的结合。

参考书目

1. H.cheffe，The Analysis of variance，John Wiley & Sons，New York， 1959.

参考文章

• 方差分析为何是单侧检验？统计学
• 为什么说随机区组设计方差分析的效率高于完全随机分组设计的方差分析？统计学
• 方差分析的基本思想、应用条件是什么？统计学
• 方差分析的基本思想是什么？统计学
• 什么是方差分析？它研究的是什么？有哪些基本假定?统计学