关于初等数论介绍

[拼音]：chudeng shulun

[外文]：elementary number theory

数论的一个分支。它以算术方法为主要的研究方法，而区别于数论的其他分支。公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯就已研究过整数的可除性问题，例如，当时已经知道正整数中有奇数、偶数、素数、复合数等各种类型的数。并触及其他一些问题，例如对完全数和不定方程的整数解的探求等等。从此，算术由简单的计算而首先酿成初等数论的内容。公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得证明了有无穷多个素数，给出了求两个正整数的最大公因数的算法，建立了初等数论中整数可除性的初步理论。到了公元3世纪，古希腊数学家丢番图研究了若干简单的不定方程。在公元前后，中国古代《孙子算经》中提出的问题之一:“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”即求同余式组x呏2(mod3)，x呏3(mod5)，x呏2(mod7)的解。《孙子算经》 给出了上述问题适合0

17～19 世纪，P.de费马、 L.欧拉、 J.-L.拉格朗日、A.-M.勒让德以及高斯等人的工作大大发展和丰富了初等数论的内容。1640年，费马提出一个他未给出证明的定理：如果p是素数，那么对于任何整数α，αp-α都是p的倍数，即所谓费马小定理。欧拉于1736年首先证明，又于1760年，把它推广到复合数的情形。1772年，拉格朗日证明了费马提出的又一个定理：每一个正整数都能够表成四个整数的平方和。1798年勒让德的第一部数论教科书出版。1801年，高斯著名的《算术研究》一书问世，他在书中证明了二次互反律、原根存在的充分必要条件等结果。这些工作奠定了初等数论的基本内容。二次互反律在数论发展史上起了重要的作用。

初等数论中某些问题的研究，促使形成新的数学分支。如对不定方程和高次互反律的研究，促进了代数数论和类域论的形成和发展。初等数论和数论其他分支一样，至今还有许多没有解决的困难问题。如是否存在奇完全数或无穷多个偶完全数，就是其中著名的问题。近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、密码学、计算方法、信号的数字处理等领域内得到广泛的应用。同时，许多新的问题不断出现，从而促进了初等数论的继续发展。初等数论的内容和方法已是研究近代数学和应用学科所不可缺少的工具。