关于流体力学介绍

[拼音]：liuti lixue

[外文]：fluid mechanics

经典力学的一个分支，它研究液体、气体、等离子体在平衡尤其是运动时的宏观状态和规律。流体力学中研究得最多的流体是水和空气。它的主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律，常常还要用到热力学知识（如热力学第一、第二定律），有时还用到宏观电动力学的基本定律、本构方程和物理学、化学的基础知识。1738年D.伯努利出版他的专著时，首先采用了水动力学这个名词并作为书名；1880年前后出现了空气动力学这个名词；1935年以后，人们概括了这两方面的知识，建立了统一的体系，统称为流体力学。除水和空气以外，流体还指作为汽轮机工作介质的水蒸气、润滑油、地下石油、含泥沙的江水、血液、超高压作用下的金属和燃烧后产生成分复杂的气体、高温条件下的等离子体等等。气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸以及天体物理的若干问题等等，都广泛地用到流体力学知识。许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导，同时也促进了它不断地发展：不断更新实验设备，改进测试手段，阐明未研究过或不够明了的流动规律和概念，提出定量地计算具体条件下运动状况的方法，并在实践中不断检验和完善理论。1950年后，电子计算机的发展又给予流体力学以极大的影响。

发展历史

公元前，人们已经认识到静力学的浮力规律（见阿基米德原理），17世纪B.帕斯卡首先阐明了静止流体中压力的概念。但流体力学尤其是动力学作为一门严密的科学却是随着经典力学建立了速度、加速度、力、流场等概念以及质量、动量、能量三个守恒定律的奠定之后才逐步形成的。从15～16世纪文艺复兴以后，人们有了速度、加速度的概念。意大利的山洪暴发，促使E.托里拆利提出了流速v同重力加速度g和水的落差 h之间的关系： 。I.牛顿曾长期研究流体中运动的物体所受到的阻力，计算物体表面不同位置所受到的压力问题（即绕流问题），但是，牛顿还没有建立起流体动力学的理论基础，他提出的许多力学模型和结论同实际情形有差别。L.欧拉采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到运动流体中，建立了欧拉方程，正确地用微分方程组描述了无粘流体的运动。伯努利从经典力学的能量守恒出发，研究供水管道中水的流动，精心地安排了实验并加以分析，得到了流体定常运动下的流速、压力、管道高程（沿重力加速度方向离某一标准水平面的距离）之间的关系──伯努利方程。欧拉方程和伯努利方程的建立，是流体动力学作为一个分支学科的标志，从此开始了用微分方程和实验测量对流体的运动做系统的定量研究。从18世纪起，位势流理论有了很大进展，在水波、潮汐、涡旋运动、声学等方面都阐明了很多规律。在上述的研究中流体的粘性并不起重要作用，即所考虑的是无粘流体。这种理论当然阐明不了粘性的效应。

19世纪，工程师们为了解决许多工程问题，尤其是要解决带有粘性影响的问题，因而从18世纪起就开辟了另一条和流体力学有所不同，但更适合工程设计的途径，即部分地运用流体力学，部分地采用归纳实验结果的半经验公式，形成了水力学，至今它仍与流体力学并行地发展。1822年，C.-L.-M.-H.纳维考虑了怎样才能合理地在基本运动方程中计及粘性的作用，建立了粘性流体的基本运动方程；1845年，G.G.斯托克斯又以更合理的基础导出了这个方程，并将其所涉及的宏观力学基本概念论证得令人信服。这组方程就是沿用至今的纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）。上面说到的欧拉方程正是N-S方程在粘度为零时的特例。解N-S方程时数学上的困难很突出，直到1910年成绩显著的解为数并不多。O.雷诺在1876～1883年间，通过实验阐明了直管道中层流到湍流的过渡条件（见雷诺数、层流和湍流）。L.普朗特学派从1904年到1921年逐步将N-S方程作了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个角度，建立了边界层理论，并能实际计算简单情形下边界层内流动状态和流体同固体间的粘性力；提出了许多新概念，并广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去。航空事业的发展期望揭示飞行器周围的压力分布、飞行器的受力状况和阻力，这就促进了流体力学在实验和理论分析方面的发展。20世纪初，以Η.Ε.儒科夫斯基、С.Α.恰普雷金、普朗特等为代表的科学家开创了以无粘不可压缩流体位势流理论为基础的机翼理论，阐明了机翼怎样会受到举力，从而空气能把很重的飞机托上天空。机翼理论的正确性，使人们重新认识无粘流体的理论，高度评价了它指导工程设计的重大意义。机翼理论和边界层理论的建立和发展标志着流体力学的又一重大进展，它使无粘流体理论同粘性流体的边界层理论很好地结合起来。随着汽轮机的完善和飞机飞行速度提高到50米每秒以上，从1920年起，又迅速扩展了从19世纪就开始的对空气密度变化效应的实验和理论研究，为高速飞行提供了理论指导。这个分支现在称做高速空气动力学或气体力学。以这些理论为基础，20世纪40年代，关于炸药或天然气等介质中发生的爆轰波又形成了新的理论，为研究原子d、炸药等起爆后激波在空气或水中传播发展了爆炸波理论。此后，流体力学又发展了许多分支，如高超声速空气动力学、跨声速空气动力学、稀薄空气动力学、电磁流体力学、计算流体力学、两相（气液或气固）流等等。近30年来流体力学随着应用对象的开拓，越来越和物理学、化学、计算机的发展融合在一起了。

流体力学在扩充其研究和应用范围的过程中，逐步形成了完整的理论体系。

（1）它具备了一套基本概念和基本物理量：如流体质点、坐标系和流场、速度、加速度、密度、压力、变形率和一些热力学函数（如熵、焓、内能等），还有粘性、边界层、层流、湍流等等。这些概念和物理量反映了各种不同流体的共性。

（2）推导出了一系列的基本方程组：描写流体运动的欧拉方程、纳维－斯托克斯方程、连续方程和能量方程（见流体力学的能量方程）等等，以及为这些不同的方程配上适当的边界(或初始)条件，还建立了描写具体类型流体宏观物理特性之间关系的本构方程（包括状态方程、粘性力和运动学之间的关系等等）。

（3）针对某些类型的流体运动，抓住主要因素，建立简化了的理想模型。所谓简化或是简化基本方程组（减少自变量或是未知函数），或是简化边界条件（包括边界形状），或是初始条件，也可以是忽略某些虽客观存在但对于所讨论的问题是处于次要地位的流体性质和现象，从而简化了本构方程。经过简化（科学的抽象或称作简化模型的建立）才有可能做实验或进行下述第四方面的工作。

（4）根据流体力学的基本方程和附加的边界和初始条件，推论出一系列反映流体运动的概念、定理和相似律，运用各种力学和数学知识，定性地分析流体运动规律和受力状况，并对它们进行定量的计算。

同物理学、化学等学科一样，流体力学离不开实验，尤其是对新的流体运动现象的研究。实验能显示运动特点及其主要趋势，有助于形成概念，检验理论的正确性。200 年来流体力学发展史中每一项重大进展都离不开实验。模型实验在流体力学中占有重要地位。这里所说的模型是指根据理论指导，把研究对象的尺度改变（放大或缩小）以便能安排实验。有些流动现象难于靠理论计算解决，有的则不可能做原型实验（成本太高或规模太大）。这时，根据模型实验所得的数据可以用像换算单位制那样的简单算法求出原型的数据。换算的方法和安排模型实验要靠量纲分析和相似律指导。不同类型问题有不同的相似律。这些都是流体力学的重要内容。

基本概念和基本物理量

流体和一切物质一样是千变万化和复杂的，要建立理论必须进行简化和抽象化，抓住主要点略去次要或完全可以忽略不计的因素，这是理论上的模型化（不是指实验中用的模型）。

牛顿第二定律阐明了质点的加速度同所受外力的合力间的关系。流体的质点是一个简化了的抽象的模型，它是指宏观足够小、微观足够大（以便忽略流体分子结构的不连续性和涨落）的体积内流体分子的总和，是个宏观概念。流体质点在流体力学中就描绘成没有几何尺度的质点。在一个流体质点周围的小体积ΔV内， 流体质量的总和ΔM除以此小体积ΔV， 当ΔV趋于零时的数学意义上的极限，叫做这一流体质点的密度。在流体力学中，总是对流体质点应用牛顿第二定律或质量守恒定律（有时还要加其他原理，如热力学第一、第二定律）列出基本微分方程组。

对流体加速度的定量描绘和刚体力学、d性力学不同。流体易流动、易变形，每个质点移动的路程可以很大，而且质点系中任意两个质点之间的距离可以发生相当大的变化。因此，流体运动学中不应像质点运动力学那样以质点位置作为主要未知量，也不能像d性力学中那样以位移（或应力）为主要未知量。在流体运动学中，选取的坐标系常常是充满着运动流体的在牛顿力学中所采用的空间（或空间的指定部分）中的坐标系。对于做流体力学实验，相对于测量仪器不动的坐标系是最方便的。这个空间坐标系（又叫欧拉坐标系）和时间就作为自变量，并以流体质点的速度矢量、压力、密度、粘性应力等量作为主要未知量。要强调的是处在欧拉坐标系中某一点位置上，在不同时刻通常是不同的一系列流体质点，而不是同一质点。例如，选择和长江大桥相对不动的空间坐标系，原点就选在桥下江面某点，显然，通过此坐标系原点的水是从长江三峡而来，流入东海的一个继一个不同的流体质点。流体力学中用“场”的概念，就是说，考虑相对于这个坐标系不动的若干测量点，问随着时间的不同和测量点的不同，各点的质点速度是什么方向，其值如何，各点的压力又是什么。J.L.拉格朗日系统地考虑用标志流体质点的数值（如初始位置）做自变量，这种坐标系叫拉格朗日坐标，它只是在1950年以后，随着计算流体力学的兴起，才在流体力学中占有一定的位置。

根据欧拉坐标系中的速度场可求得加速度场。如果欧拉坐标是直角坐标系，时间以t表示，速度的三个分量用u(x，y，z，t)、v(x，y，z，t)、w(x，y，z，t)表示，那么x方向的物质质点的加速度是由下列四项总和组成的

式中第一项是在空间坐标系中固定的某一点(例如，可记作x0，y0，z0)，在t和t+Δt两时刻的两个不同物质质点的x方向分速度u(x0，y0，z0，t)和u(x0，y0，z0，t+Δt)， 把后者减去前者再除以 Δt再取极限即可形成。上述速度差是同一位置(x0，y0，z0)，但是不同物质质点的速度之差，因而不是物质质点的加速度，只有加上等后三项，才能是物质质点的加速度。后面这三项的物理含意是同一个物质质点在很小一段时间Δt后，移动到了(x0，y0，z0)点邻近一个位置上，物质质点在坐标系中迁移了。因此后三项合起来又叫迁移加速度。当 u、v、w都随时间变时，这只是加速度的一部分。当u、v、w不随时间变时，迁移加速度就是流体质点的加速度。从数学角度说，迁移加速度是非线性项，就是说，由未知函数同未知函数导数的乘积所组成的项。

又称变形速度，指流体质点附近一小团流体改变其形状的快慢。没有这个概念就难以对粘性的作用做深入的研究。流体同固体的一个显著差别是流体很容易变形：不必费多大力，就可以使本来互相邻近的若干个流体质点之间的相互距离有很大的变化。怎样刻画变形随时间变化的快慢，1845年斯托克斯发表了对这个问题完整的研究结果，结论是如果速度场用沿x、y、z三个轴的方向的速度分量u（x，y，z，t）、v（x，y，z，t）、w (x， y， z， t)来表示，则变形率是个张量

作为特例，v=w=0， u=u(y)，则变形率的诸分量只剩下不是零。这时，原来是矩形的高为dy的一块隔离体，经过时间dt后就变成平行四边形（图1）。四边形左右两个边都同原来的垂直方向的两个边形成了夹角 时间愈长夹角α 愈大，时间变化率为。200多年前，牛顿在其名著《自然哲学的数学原理》中，讨论过这一特殊情形，并指出表现流体内摩擦的切向应力正好同应变速度 成正比（见粘性）。

流体力学的另一些基本概念和量，如连续介质、压力、边界层、湍流等等，可参见有关条目。

基本方程组

流体力学的基本方程组，包括连续方程、欧拉方程（或是纳维－斯托克斯方程）。在很多情形下还要添加能量方程、状态方程、本构方程等等。

从基本概念到基本方程的一系列定量研究，都涉及到很深的数学问题。流体力学的发展是以数学的发展为前提。反过来，那些经过了实验和工程实践考验过的流体力学理论，又检验和丰富了数学理论，它所提出的一些未解决的难题，也是进行数学研究、发展数学理论的好课题。按目前数学发展的水平看，有不少题目将是在今后几十年以内难于从纯数学角度完善解决的。

流体的理论模型和简化过程

描述流体运动的微分方程相当复杂，求解方程组时数学上的困难很大。在流体力学理论中，用简化流体物理性质的方法建立特定的流体的理论模型，用减少自变量和减少未知函数等方法来简化数学问题，在一定的范围是成功的，并解决了许多实际问题。

对于一个特定领域，考虑具体的物理性质和运动的具体环境后，抓住主要因素忽略次要因素进行抽象化也同时是简化，建立特定的力学理论模型，便可以克服数学上的困难，进一步深入地研究流体的平衡和运动性质。清水同海水的密度不一样，含沙量大的河水密度是不均匀的，这些物理量都随时间和空间变化。然而，流体力学最初所论述的都是密度均匀（不随时间和空间改变）的不可压缩流体。水面波、潮汐波、供水系统中的流动规律，正是采用了种种密度均匀的模型才克服了数学上的困难，得到了相当符合实际的定性和定量的力学结论。对于流体性质的又一简化是忽略了流体的内摩擦力，同时也忽略和流体附着在同其接触的运动物 体（如飞行器、车辆）表面上的这一事实，这种流体一直到1950年通常叫做理想流体。理想在流体力学中是指没有粘性的简化。“理想”一词在物理学中却指另外的简化，近30年来人们普遍地采用了更确切的词“无粘流体”。

随着对煤矿中的瓦斯爆炸、汽轮机叶片间的高温高压蒸汽的膨胀。炮d或飞机的高速飞行等问题的研究，又引入了气动力学的模型。它考虑密度的显著变化及其效应，描述这类运动就必需考虑气体的内能引用热力学的理论和考虑密度同其他热力学量（如压力、温度）之间的关系，引入各种简化了的状态方程。

对于飞机作大致匀速的飞行，水渠、水管中的流量大致不随时间变化等等问题，可以忽略流场随时间的变化。不随时间变化的流场叫定常流。这样，自变量就少了一个时间t，在定常流动中，欧拉坐标系中的加速度只是迁移加速度。在中国有些流体力学书中，曾把steady flow译作稳定流，其实外文中的稳定另有一词，即stable，它和定常含义不同。在定常流中客观上总是存在着微小扰动，扰动有时会很快地增长，使原来那种流动变成另一种流动。当小扰动会很快衰减时就叫做稳定；当小扰动很快增长时通常就属于失稳或不稳定，有时又属于分岔、突变。定常流并不总是稳定的，所以从20世纪50年代中期以来，力学界采用定常流而不采用会引起误解的稳定流这个词；流场随时间有明显变化的流动(如石头落入水中引起的波浪、炸药爆炸等等)叫做不定常流。对于定常流，可以减少时间自变量。这可使流体力学方程组简化，在实验中也可减少测量点的数目。在水动力学中所叙述的只是一个空间自变量的定常流，在飞机设计中主要是运用定常流的结论。20世纪50年代开始，在设计携带人造卫星上天的火箭发动机时，配合实验所做的理论研究，正是依靠一维定常流的引入和简化，才能及时得到指导设计的流体力学结论。另一减少自变量的手法是合理地并巧妙地把时间自变量和空间自变量合并成为一个新的自变量。例如，最初分析原子d爆炸时产生的激波，就是考虑到刚爆不久，压力很高，可以忽略周围大气的压力，描述这一运动可以只用一个自变量即r/t2/5，其中t是时间，r是离开爆心的空间距离。这种以流体力学和量纲理论为基础的分析很成功，在激波很强时同实际很相符。这类先把空间自变量减成一个，再和时间合并成一个自变量，即把时间和空间自变量组合成新的自变量的运动，叫做“自模拟运动”。在流体力学中，用这种方法揭示了很多深刻的有重大典型意义的流体运动规律。

例如，引入速度势、流函数或涡量等等，则速度场就不再是有三个分量的矢量函数，而只是一个未知的标量函数了。具有速度势的流动又叫位势流。1930年以前，理论流体力学中无粘流体的部分用数学形式写出的绝大部分内容正是位势流。

除了以上三种重要的简化以外，流体力学中还经常用各种小扰动的简化，使微分方程和边界条件从非线性的变成线性的（或是非线性的但简单得多的方程）。声学是流体力学中采用小扰动方法而取得重大成就的最早学科。声学中的所谓小扰动，就是指声音在流体中传播时，流体的状态（压力、密度、流体质点速度）同声音未传到时的差别很小。线性化水波理论、薄机翼理论等虽然由于简化而有些粗略，但都是比较好地采用了小扰动方法的例子。

边界条件的简化有两重意义：一方面是简化边界的形状，另一方面是简化在边界上应该满足的物理条件。以飞机周围的流动和流体对飞机作用力的问题为例：机翼和机身形状很复杂，其几何形状的改变对流体运动会有显著影响。从20世纪70年代起，采用了电子计算机更准确的计算形状效应的方法和程序。这种方法和程序如果是成熟而有效的，那就可以在相当短的时间内（如半小时甚至更快）算出一种形状的飞行性能。计算时经常要对飞机形状加以简化。例如直到20世纪70年代初期，为计算高速飞机在飞行时的受力状况，尤其是为了解机翼形状的改变，对飞机性能的影响，可以先略去机身，把飞机看成是如图2a的形状，结果仍然可用。再进一步就把机身看作旋转体，如图2b。这是忽略了形状复杂的发动机、机翼下的悬挂物等次要作用（其作用另做计算）。

每种合理的简化都有其力学成果，但也总有其局限性。例如，忽略了密度的变化就不能讨论声音的传播;忽略了粘性就不能讨论与它有关的阻力和某些其他效应。掌握合理的简化方法，正确解释简化后得出的规律或结论，全面并充分认识简化模型的适用范围，正确估计它带来的同实际的偏离，正是流体力学理论工作和实验工作的精华。检验简化是否合理，从根本上说要靠实践。另一方面，流体力学所以能成熟并能积累大量经受实践检验的知识和经验，也靠各种理论分析、对比和推理。

计算方法

流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N－S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间（如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年算到1947年）做数值计算，以求得比较准确的定量描述。这种计算工作量常常很大。爆轰波理论奠基人之一，应用数学家J.冯·诺埃曼，为了取得反法西斯战争的胜利，在美国洛斯阿拉莫斯科学实验室从事爆炸波等研究。他深感用机器加速计算的迫切需要，借鉴了当时的计算机，创造性地提出了把程序存入计算机内的概念，并采用二进制数字的第一代电子计算机。可以说他是兼为纯数学家、理论物理学家和应用数学家，是开创电子计算机原理和计算流体力学的先驱者。1950年，他发表了便于计算激波的人为粘性的方法。这个方法至今受到广泛地重视和采用，并不断地得到改进；1979年以后，进展更大。

数学的发展同电子计算元件和外部设备的多次更新换代，计算机软件的发展和流体力学各种计算方法的发明，又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了“计算流体力学”。对于流动的基本概念和图像已清楚的流体力学问题，主要是找出合适的数值计算方法。从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。

20世纪60年代，根据结构力学和固体力学的需要，出现了计算d性力学问题的有限元法。经过十多年的发展，到70年代中期有限元这项新的计算方法又开始在流体力学中应用，尤其是在低速流和流体边界形状甚为复杂的题目中，优越性更加显著。近年来又开始了用有限元方法研究高速流的问题，也出现了有限元方法和差分方法的互相渗透和融合。

参考书目

1. L.普朗特等著，郭永怀、陆士嘉译:《流体力学概论》，科学出版社，北京，1981。(L. Prandtl，et al.， Führer Durch Die Strmungslehre， Friedr. Vieweg und Sohn， Braunschweig， 1969.)
2. 钱学森著，徐华舫译：《气体动力学诸方程》，科学出版社，北京，1966。(H.W. Emmons，ed.，Fundamentals of Gas Dynamics， Section A， Oxford， Univ. Press， London， 1958.)
3. 洛强斯基著，林鸿荪、张炳煊等译：《液体与气体力学》，人民教育出版社，北京，1957。
4. Л. И.谢多夫著，沈青、倪锄非、李维新译：《力学中的相似方法与量纲理论》，科学出版社，北京，1982。
5. H. Schlichting，Boundary-Layer Theory，6th ed.，McGraw-Hill， New York， 1968.