关于算术介绍

[拼音]：suanshu

[外文]：arithmetic

数学中最古老同时又是最基本的一个分支，它研究数的性质及其运算。arithmatic源于希腊文arithmos，就是“数”(shй)数的意思。“算”字的古义也是“数”的意思，古写为“筭”，表示计算用的竹筹，许慎《说文解字》中有“筭，长六寸，所以计历数者”，中国古代复杂的数字计算都要用算筹，所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》与杜忠《算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。

作为现代学校教学科目的“算术”与作为数学分支的“算术”是有差别的。教学科目的算术，除了正整数、分数、小数的性质以及它们的四则运算 (加、减、乘、除)外，还包含量的度量、比、比例等带有实用性质的内容，这是由来已久的传统。而作为数学分支的“算术”则还包含数论的某些初步内容。

人类在日常生活与生产实践中，由于计数的需要，在文化发展的最初阶段，就产生了自然数的概念。仅有自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题，因之，数的概念的第一次扩张是从自然数扩大到正分数，最初仅认识分子是1的分数，尔后逐渐熟悉了分子是任意自然数的分数及其运算规则。从已有的文献可知，人类认识自然数与分数的历史是很久的，例如，古埃及人很早就有了关于整数和分数的知识，流传下来的莱茵德纸草书（约公元前2000）记载了有关于分数的计算方法。中国殷代遗留下来的甲骨文字中有很多自然数，最大的数字是三万，并且全部是应用十进位制的位置记数法。战国时齐人所写的《考工记》就利用分数的知识，例如，A的长度是B的长度的几分之一，意即“n分其B，以其一为A”，而在《九章算术》一书的方程章里，相当完整地介绍了分数的约分、通分以及加、减、乘、除四则运算的规则。中国古代数学主要用来解决实际问题，其中涉及到一些无理数，例如关于正方形的边长与对角线的关系最初表述为“方五斜七”。3世纪时，刘徽提出用继续开方“求其微数”的方法后，可得到十分准确的近似值。引入无理数是古希腊人的贡献，希腊哲学家毕达哥拉斯从直角三角形定理出发，知道边长为1的正方形的对角线的长度r适合关系式r2＝2，因此，存在一个“数”，其平方为2。但当时仅知道有理数，于是应存在两个自然数α，b，没有真公因数，使得，从而b2=2α2，于是b应是一个偶数，从而α也是偶数，这又与α、b没有真公因数相矛盾。这就是所谓“毕达哥拉斯的两难”。为了摆脱这个困境，只有扩大数的范围，承认存在不能表成分数形式的数，这种新数，就是无理数。后来，欧几里得在《几何原本》中又用几何的方法证明正方形的对角线长与其边长不可通约，进一步说明了无理数的存在。中国古代很早就认识负数及其计算规则，例如，《九章算术》的方程章中就提出用不同颜色的算筹分别表示正、负数（红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数），并给出正、负数的加减法规则，即所谓正负术：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。这比其他国家的人民利用负数的年代要早得多。至于零的引入，通常认为是大约5世纪以后印度人的贡献。虚数的出现，则是16世纪以后的事。数的知识，经过了漫长的历史发展过程，直到19世纪，才建立严密的理论体系。通常算术里仅讨论自然数、正分数、正无理数，而把其他的数留给代数讨论。

自然数的概念，在数学上一直把它当作最明显、最基本的概念来应用，多少世纪以来，没有发生用更简单的概念来说明它、定义它的问题；直到19世纪，在数学的公理化方法发展的影响下，才提出“自然数是什么”的问题。按照公理法的要求，数学上每一个概念都希望用更简单的概念来定义，最后归结为几个最基本的不定义的概念;已知概念的每一个性质，也希望由几个不加推导的最基本的性质推导出来。对于自然数，可以用什么样的最基本的概念来定义？哪些是自然数的最基本性质，其余性质均可由它们推导出来？这项工作可以认为发端于G.W.莱布尼茨关于等式2×2=4的证明。由于自然数有两种功用，一种是用来回答“多少个”，一种是用来回答“第几个”，因此，产生了两种理论：基数理论与序数理论。这个工作是在19世纪末分别由德国数学家G.（F.P.）康托尔和意大利数学家G.皮亚诺完成的。

自然数的基数理论，是以集合间的“一一对应”的概念为基础的。给定两个集合A、B，如果存在一个规则ƒ，对于A中每一元α，在B中惟一确定b（称为α在ƒ下的像），并且，A中不同元确定的像也不同，又B中任一元均为A中某一元的像，那么就说ƒ是A到B的一个一一对应。存在一一对应的两个集合称为等价的。取定一个集合A，把所有与A等价的集合放在一起，作成一个集合的类W，W中所有集合所共有的属性称为A的基数，简而言之，类W本身就称为A的基数。于是，每一个集合均有一个惟一确定的基数，等价的两个集合的基数相同，不等价的集合的基数不同。例如，取A为单独一支粉笔所成的集合，与A等价的所有集合所具有的共同属性，显然就是这个集合所具有的元素个数1。基数概念也就是这样通过比较(一一对应)与分类得出来的。单独一个元素的集合A={α}的基数记为1，将A本身作为元素添加到集合A中，得出集合B={α，A}={α，{α}}的基数记为2，再将B视为元素添加到集合B中，得出的集合C={α，A，B}={α，{α}，{α，{α}}}的基数记为3，如此下去，依次得出 1，2，3，…，称为自然数。由单独一个元的集合出发，逐次添加一个元素所得的集合，通常称为有限集，因此，自然数可以定义为有限集的基数。此时集合的基数实际上就是人们通常所熟悉的集合中元素个数。例如，含有三本书的集合E，易知它与上述基数为3的集合C等价，故E的基数为3，也就是E中元素个数为3。为了计数，先要有计数的标准集合(自然数)，通过一一对应就可确定所要计数的集合中元素个数，考查一下儿童数数的过程，就可发现确是如此。这样，自然数可以用来回答有多少个的问题。

取定两个自然数α、b。设A、B分别表示以α、b为基数的集合。若A与B等价，由定义知，α=b。若A等价于B的一个真子集合（即由B的部分元素组成的集合），则说α<b。若B等价于A的一个真子集合，则说b<α。由于A、B是有限集，可以证明，二者不能同时成立（当A、B是无限集时，二者可以同时成立，此时，由伯恩斯坦定理知，A与B等价），因此，这就建立了自然数的顺序关系：对于任意自然数α、b，或α=b，或α<b)，或b<α，三者有且仅有一种情形成立。

取定自然数α、b，设A、B分别表示以α、b为基数且无公共元素的集合(由于A、B可在等价类中任意选取，无公共元素的集合总是存在的)，命C表示A、B的并集(即以A、B的所有元素组成的集合），C的基数с称为α、b的和，记为с=α+b，形成和的运算称为自然数的加法。可以证明，自然数的加法适合交换律与结合律。由加法结合律，可知任意b个α相加的结果，与添加括号的方式无关，其惟一结果记为d＝α+α+…+α＝bα，称为b、α的积，形成积的运算称为自然数的乘法。于是，可以证明，自然数的乘法适合交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。

自然数的序数理论，是皮亚诺于1891年发表的。他利用两个不定义的概念 “1”与“后继者”以及四个基本性质（公理）来定义自然数。所谓自然数，是指满足以下性质的集合N中的元素：

（1）1是N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若α的后继者用α+表示，则对于N中任何α，α+≠1；

（2）对于N中任意元α，存在而且仅存在一个后继者α+；

（3）对于N中任何α、b，若α+=b)+，则α=b；

（4）N的一个子集合M，若具有以下性质：

1属于M；α属于M，则α+也属于M，则M=N。

用2表示1+，3表示2+，…，如此下去，则可以把N的全部元素如下排列出来：

1，2，3，4，…，n，n+，…。 (*)这就是人们所熟悉的自然数列。所谓“如此下去”，实际上就是公理④，通常称为归纳公理，这是证明对于所有自然数都成立的命题非常有效的工具。例如，说数列(*)就是全部自然数，首先(*)的全部元素组成N的子集合M，1在M中，又当n在M中时，有n+在M中，故M=N。利用自然数列(*)， 可以回答第几个的问题。1是第一个数，1后面的2是第二个数，等等。因此，这样的自然数称为序数，以区别于前述的可用来回答多少个的基数理论。当然，稍加处理，即可使二者沟通起来。

在自然数范围内，除法不是永远能施行的，这就是说，任意两个自然数的商未必是自然数，因而出现因数问题。所谓α是b的因数，即指存在自然数с，使αс=b，也称为α除尽b，此时b称为α的倍数。1是任何数的因数。自然数p称之为一个素数，是指p>1，而且p的因数只有1与p本身。不是1也不是素数的自然数称为合数。大于1的任意自然数均可表成素数的乘积，如果不计次序的差别，表法是惟一的。这一结论通常称之为算术基本定理，是德国数学家C.F.高斯首先证明的。

用十个数码0，1，2，…，9表示任意自然数的位置记数法，是中国古代首先应用的。由于计算工具是算筹，所以数码与算筹的摆法一致，有纵和横两种方式：

纵式 ｜

横式 － ＝ ，

1 2 3 4 5 6 7 8 9例如，329表为＝，1042表为｜ ， 约定各位数目从左到右横列，并纵横相间，数码为零的位置则让其空着，以后逐渐改成□，○，0。位置记数法不必限于十进位制，任取大于1的自然数r，可用来表示任意自然数的r进位制，此时αnαn-1…α1α0表示，此处0≤αj＜r。例如，二进位制的11011表示1·24+1·23+0·22+1·21+1·20，表成十进位制，即27。竖式运算不必限于十进位制，r进位制的记数法同样可以进行，只要注意到逢r进一即可。

分数的建立有各种方式，以下定义是比较简单的。符号称为（正）分数，此处m，n是自然数，其相等、 相加、 相乘规定如下：两个分数，当时，认为是相等的;的和，是指分数，记为;的积，是指分数，记为；易证，分数的加、乘适合交换律、结合律以及分配律。当时，由定义，于是，或者，在前一情形，认为;在后一情形，认为。这样，任意两个分数α和b，或α=b，或α>b，或b>α，三者有一个且仅有一个成立。从而对分数规定了顺序，分母是1的分数认为与自然数m是同一的，这样，就可写出人们所熟悉的分数的一些性质。

无理数的概念虽然在古希腊时代即已产生，但是严谨的论证是古代学者不能胜任的。直到17世纪以后，随着数学分析的发展，实数理论才成为主要研究课题。19世纪70年代，由J.W.R.戴德金、G.（F.P.）康托尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯采取不同的途径差不多同时完成。

参考书目

1. 钱宝琮主编:《中国数学史》，科学出版社，北京，1964。
2. F.Klein，Elementary Mathematics from ɑn Advanced Stand point，Dover， New York， 1939.

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