关于里茨－加廖金方法介绍

[拼音]：Lici-jialiaojin fangfa

[外文]：Ritz-Galerkin method

求解数学物理方程的近似方法，主要用于椭圆型边值问题，W.里茨于1908年对此做了开创性的工作。这类方法从变分原理出发，选定有限个试探函数φ1，φ2，…，φN，用它们的线性组合构造近似解，从而把问题归结为确定组合中的系数。

表达物理基本定律的一种形式，其表达可概括如下：给出一个依赖于物理状态v（为一函数）的变量J(v)（数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V，即一切容许取的物理状态，则真实的物理状态就是V中使J(v)达到极小值的函数u。例如d性力学中著名的极小能量原理的表述是：d性体在外力作用下的平衡位移使总势能达到极小。这里，总势能是位移函数的泛函。现讨论小变形的均匀d性膜，膜在区域Ω上的垂直位移用函数v(x，y)表示，假定在边界嬠Ω上膜固定在坐标平面上，即

， (1)

在外力ƒ(x，y)作用下d性膜的总势能为

(2)

它的容许函数集 V是满足边界条件(1)并使积分(2)存在的全体函数。由极小能量原理得出：d性膜的平衡位移u是V中使总势能(2)达到极小的函数，即

。 (3)

又称虚位移原理，在力学中与极小能量原理同属变分原理。它的一般表述是：平衡系的力对虚位移所作的虚功为零。在d性膜的例子中，如果仍以u表示平衡位移，则虚功原理可表达为：对所有 υ∈V，u使

(4)

成立。变分问题(3)或(4)确定的平衡位移u，也是泊松方程第一边值问题的解，即u满足

式中Δ为拉普拉斯算子。

从与微分方程问题等价的极小值原理出发，选择有限个试探函数φ1，φ2，…，φN，在它们的线性组合中去找近似解。一般而言，试探函数φj须属于容许函数集V。把代入(2)，得到

(5)

式中

，

。

由多元微分学可推出极小解的系数C壣应满足

(6)

故问题归结为求解线代数方程组(6)。

从虚功方程(4)出发，把近似解表为试探函数φ1，φ2，…，φN的线性组合，另选定函数ψ1，ψ2，…，ψN作为(4)中的虚位移，ψi也须满足边界条件(1)，称为检验函数。将线性组合代入虚功方程(4)，得到

利用分部积分公式得

。

若取ψi=φi，可看出方程组(7)即方程组(6)，也就是说这时里茨法与加廖金法一致。由于检验函数ψi的选择可不同于试验函数φi，另外，对非自共轭问题lu=ƒ不存在等价的极小值问题，但可建立等价的广义虚功方程

加廖金法仍可用，所以加廖金法是里茨法的推广，它比里茨法更灵活和广泛。

里茨－加廖金法的有效使用依赖于试探函数和检验函数的选取，传统的做法是选取代数或三角多项式之类的解析函数，其优点是，对光滑解只需很少几个φj，近似解就能达到很高的精度。在电子计算机出现之前，这种方法比较切合实际。但这样选取的函数只当区域Ω的形状很特殊才能满足给定的边界条件，故在应用上受到很大限制。随着电子计算机的出现，产生了有限元方法，它继承了里茨-加廖金法从变分原理出发的基本特点，但不用多项式之类的解析函数，而是用剖分插值的方法构造试探函数和检验函数，从而使方法具有极大的灵活适用性，能很好地处理复杂的几何形状、间断介质以及奇性载荷等情况，在科学与工程的计算中获得广泛的使用。