关于应力函数和位移函数介绍

[拼音]：yingli hanshu he weiyi hanshu

[外文]：stress functions and displacement functions

在d性力学中，为方便求解，常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示，这些函数通常叫作应力函数或位移函数。

最有名的应力函数是d性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σxx、σyy、τxy满足下列方程：

。 (1)

根据方程(1)，可将应力分量用一个函数φ（x，y）表示为：

。 (2)

φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体，φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：

ΔΔφ=0， (3)

式中是平面的拉普拉斯算符。引入φ后，平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σxx、σyy、τxy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。

在d性柱体的扭转问题中，剪应力分量τxz、τyz满足下列平衡方程：

。 (4)

据此可将τxz、τyz用一个函数Ψ(x，y)表示为：

。 (5)

Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体，Ψ满足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ， (6)

式中G为材料的剪切模量（见材料的力学性能）;θ为单位长度的扭转角。

在求解d性力学的空间问题时，也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量，但好处不多。所以，一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性d性体，位移分量u1、u2、u3满足下列平衡方程：

式中是空间中的拉普拉斯算符；ν为材料的泊松比；G为剪切模量；┃i为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为：

式中ψ1、ψ2、ψ3、嫓四个函数满足下列方程：

。 (9)

函数ψ1、ψ2、ψ3、嫓称为布森涅斯克-帕普科维奇-纽勃位移函数。 d性力学中许多空间问题的解都是从公式(8)推导出来的。

方程(7)还有另一种形式的解，即

式中Fi满足下列方程：

。 (11)

函数F1、F2、F3称为布森涅斯克-索米利亚纳－伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题，公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x3轴)，记r为所考虑点到z轴的距离，并记位移在r、z轴上的投影分别为u、ω。若┃1=┃2=0，可取F1=F2=0，F3=F(r，z)。这样，由公式(10)可得到：

， (12)

式中，即柱坐标中的拉普拉斯算符；F满足下列方程：

。 (13)

公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。 在求解轴对称问题时，经常利用公式(12)。

在┃1=┃2=0的情况下，即使不是轴对称问题，方程(7)的解也可用一组位移函数F、┃表示如下：

式中F、┃满足下列方程：

， Δ┃=0。 (15)

这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。