关于质点振动系统介绍

[拼音]：zhidian zhendong xitong

[外文]：vibrating system of particle

不论其中的物体（如质量块、d簧等）几何尺寸而看成是一个物理性质集中的振动系统。这是一种理想情况。在实际情况下，某个振动系统是否能够看作质点振动系统，决定于系统的线度与振动波长的比值，比值很小时，就可近似地看作质点振动系统。

系统不受外力作用，而阻尼又可以忽略不计的情况下的自然振动。自由振动的振幅决定于振动开始时系统所具有的能量，而振动的频率则决定于系统本身的参量。自由振动的频率就是系统的固有频率。

简单振动系统如图1所示。其中M为质量块的质量，Sm为d簧的力劲。描述自由振动的运动方程为

式中，称为振动的圆频率。

物理量随时间按正弦或余弦规律变化的振动。可由下式描述

式中A0是物理量可能达到的最大值，即简谐振动的振幅，ω是圆频率，θ是初始相位，t是时间。在简谐振动中，当经过的时间为周期的整数倍时，该物理量又恢复原值。任何复杂的自由振动都可以由许多不同频率和振幅的简谐振动合成。因此简谐振动是最简单也是最基本的振动。

物体振动时受阻力作用，形成能量损失而使系统的振动幅值逐渐减小的振动。阻尼振动是由于存在阻尼力，它通常是速度的函数。描述阻尼振动的方程如下

式中Rm为振动系统的力阻（见力阻抗和力导纳）。

系统受外力作用而被强迫进行的振动。如果外力激励是周期性的和连续的，则受迫振动就是稳态振动。受迫振动的特性与外部激振力的大小、方向和频率密切相关。

振动系统受到阻滞所发生的振动能量随时间或距离而耗损的现象。阻尼力通常是速度的函数，振动系统中存在着摩擦阻尼和声辐射阻尼。阻尼振动中用阻尼因数描述阻尼的作用。阻尼因数越小，振幅的衰减越慢，反之阻尼因数越大，振幅的衰减也越快。阻尼因数为

临界阻尼是阻尼振动的一种状态，是指外加阻尼力由小逐渐变大的过程中，振动物体刚开始不作周期性振动而又最快地回到平衡位置的状态。

系统作受迫振动时，如激励频率有任何微小的变化都会使系统响应减小的现象称为共振。这时该系统处于共振状态。如果外加力的频率有任何微小改变都会引起策动点速度的降低，也就是激励频率恰使策动点阻抗的绝对值为极小，这时称为物体或系统与外加力发生速度共振。如外加力的频率有任何微小的改变都会引起位移振幅的减小，这时称为物体或系统与外加力发生位移共振。系统出现共振现象时的振动频率称为共振频率。这时外加力的频率与振动体的固有频率很接近或相等，系统的振幅急剧加大。

系统作受迫振动时，如激励频率有任何微小变化都会使系统的响应增加的现象，这时称为系统处于反共振状态。如果外加力的频率有任何微小改变都会引起策动点速度的增加，也就是频率恰使策动点阻抗的绝对值为极大时，这时称为物体或系统与外加力发生速度反共振。如外加力的频率有任何微小改变都会引起策动点位移振幅增加，这时就称为物体或系统与外加力发生位移反共振。出现反共振现象的频率称为反共振频率。

单摆是质点振动系统典型例子之一。一质量块(质量为M)悬于一端固定、长为l的摆线上，如图2所示。当M离开平衡位置，摆线与垂直方向之间的θ角很小时，质量块受重力F＝M g和拉力T的作用，沿圆弧作往复运动。

当摆线长度不变，且忽略摆线的重量和阻尼时，单摆的运动近似为简谐振动，其周期为

简单振动系统互相耦合就形成多自由度共振系统。它的运动方程为

式中mj、ξj、Fj分别为第j个质量块的质量、位移、所受的力，Rjk和Sjk分别为第j与第k个质量块之间的力阻和力劲，N为自由度数。

在上述方程中略去力阻和驱动力，则得到多自由度质点的无阻尼自由振动，它的方程为

。

它具有非零解的条件是圆频率ω 为相应于本征方程的解的ωn，称为系统的无阻尼固有圆频率。

对于多自由度共振系统，相应于每一个ωn的值，有一个振幅分布的特征图案，称为简正振动方式。ωn也称为简正圆频率。系统的每一振动方式相应于一个简单阻尼振动系统。多自由度质点振动的位移可以表示为各简正振动方式幅度之和。

参考书目

1. 马大猷、沈同编著：《声学手册》，科学出版社，北京，1983。
2. 杜功焕等编著：《声学基础》，上海科学技术出版社，上海，1981。