关于超圆法介绍

[拼音]：chaoyuanfa

[外文]：method of hypercircle

解数学物理问题的一种近似方法，是美国的W.普拉格和J.L.辛格于1947年在讨论d性静力问题时提出的。辛格后来又把它推广应用于一般数学物理边值问题。实质上超圆法是一种函数空间方法，其特点是将泛函分析的解析概念形象化。用它能具体地给出问题精确解的上下界。超圆法属于泛函分析的范畴，在用它处理实际问题时，须解决下面三个问题：

（1）选择什么函数或函数集合来对应于函数空间的一个点或矢量；

（2）确定函数空间中合适的数量积的定义，并给出函数空间的度量；

（3）定义松弛问题，即定义函数空间中的全伴矢量、余矢量和齐次相伴矢量。

用超圆法解d性静力问题时，所选择的是实线性应力空间，空间中一个点 P代表d性体内一点的应力状态σij ，用函数集合σij定义函数空间内一点P，它可用自原点O(σij=0)到点P的位置矢量代表。其次，用应变能的两倍定义函数空间中两个矢量的数量积。再次，令S代表满足d性力学的平衡方程、应变协调方程和全部边界条件的精确解；S′代表仅满足平衡方程和应力边界条件的基本应力解，即全伴矢量；S″ 代表仅满足应变协调方程和位移边界条件的基本位移解，即余矢量；I孡(p=1，2，...，m)代表满足自身平衡方程和零应力边界条件的标准正交齐次应力矢量;Iq(q=1，2，...，n)代表满足应变协调方程和零位移边界条件的标准正交齐次位移矢量。这样，d性静力问题的解矢量S的端点就在圆心为C、半径为R的超圆г上，г的方程为：

S＝C＋RJ， J ·J＝1，式中J是满足下述正交条件的单位参数矢量(即J 被限制在一个超平面上)：

J ·I孡＝0 (p＝1，2，...，m)，

J ·Iq＝0 (q＝1，2，...，n)；而C和R由下列等式确定：

Γ上的矢量S满足不等式：

｜S1｜≤｜S｜≤｜S2｜，S1和S2分别为 г上离应力空间原点最近和最远的点的矢量，它们可由下式确定：

式中矢量G为：

式中Ir(r=1，2，...，m+n)代表I孡和Iq 的全部集合，它也是函数空间中的一组标准正交矢量。下图在三维空间中表示出C、S 、S1和S2之间的几何关系。超圆法就是按上述过程找到S1和S2，并以它们作为真实应力矢量S的上、下界。

参考书目

1. W. Prager and J. L. Synge，Approximations inElasticity based on the Concept of FunctionSpace，Quarterly of Applied Mathematics， Vol.5，pp.241～271，Oct.1947.
2. J.L.Synge， The Hypercircle in Mathematical Physics，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1957.