关于微分差分方程介绍

[拼音]：weifen chafen fangcheng

[外文]：differential-difference equation

常微分方程是含有未知函数及其导数的方程，差分方程中含有未知函数及其差分，但不含有导数，微分差分方程是同时含有未知函数及其导数和差分的方程。它同时具有常微分方程与差分方程的特点，而以二者作为特殊情况。从历史发展看，微分差分方程的产生和发展并不是二者形式上的推广，而是来自许多不同学科的实际问题。

对一个物理或技术系统，往往要考虑时间延迟的作用。例如在火箭控制理论中，燃烧室压力x(t)的运动方程为

，

压力的变化率凧(t)不仅依赖于当时的压力x(t)，而且明显地依赖于过去的压力状况 x(t-τ)，τ称为时滞，它反映燃料从射入燃烧室加热到即将燃烧的临界状态需要一段时间。这个方程是一种简单的含常数偏差变元的微分方程。

考虑多个时滞的微分差分方程

， (1)

式中时滞hk(k=1，2，…，m)为常数，如果这些常数全为正，称(1)为滞后型方程；如果全为负，称(1)为超前型方程。如果方程右端还有导数的滞后项

称为中立型方程。对于高阶方程或者方程组也有类似的分类。

20世纪30年代起对偏差变元微分方程进行了系统的研究。R.贝尔曼和K.L.库克(1963)，Л.Э.埃利斯戈尔茨(1964)总结了1960年以前的成果。50年代末H.H.克拉索夫斯基(1959)把偏差变元微分方程放到函数空间来考虑，如(1)中的偏差满足条件，则(1)的右端可看为[t-hm ，t]上函数x(·)的泛函，从而微分差分方程成为推动泛函微分方程发展的基本原型。微分差分方程特别是滞后型方程在物理学、力学、控制理论和技术以及生物学、经济学等领域有广泛的应用。

滞后型方程(1)(其中)在时刻t0的初值问题是在初值条件x(t)＝φ（t），-hm≤t≤t0之下求t>t0的解x(t)。通过把这个问题化为常微分方程的分步法，可以讨论解的存在性、惟一性问题，并对简单的方程逐步求解。在区间t0≤t≤t0+hm上等价的常微分方程初值问题为

。

设ƒ(t，x，y1，…，ym)在连续，且|ƒ|≤M，φ(t)是区间[t0-hm ，t0]上的连续函数，则在区间 上方程(1)存在满足初值条件 x(t)＝φ(t)，t0－hm≤t≤t0的连续解x（t）呏x（t；t0，φ）。若ƒ(t，x，y1，y2，…，ym)对 [-hm ，0]上每个φ(t)，函数ƒ（t，φ(t)，φ(t-h1)，…，φ(t-hm)）是连续的，且ƒ关于x，y1，y2，…，yn在 (t0，φ(t0)φ(t0-h1)，…，φ(t0-hm)的小邻域内满足李普希茨条件(见常微分方程初值问题)，则上述解是惟一的，并且解关于初值函数φ是连续依赖的。用不动点定理（见不动点理论）和格朗瓦尔不等式可以证明上述存在性和惟一性。对于中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函数φ(t)应是可微的。

若ƒ 关于变量有足够多次的连续导数，滞后型方程(1)的解在向右开拓时，光滑度增加，若0<h1<h2<…<hm，在(t0+(j-1)hm，t0+jhm)上连续，而在t0+(j-1)hm处一般有第一类间断；至于向t0的左方开拓，即使是一阶方程也不一定可能。

若(1)中时滞hi为t的连续函数，0<τ≤hi(t)≤r，τ，r为常数，以上的存在唯一性的结论仍然成立。

设非齐次线性微分差分方程组为

， (2)

式中诸Ak(t)，Bk(t)是连续的n×n阵，ƒ(t)是连续的n维向量，hk(k=0，1，…，m)是常数且0=h0<h1< … <hm。它和常微分方程一样，也有常数变易公式。设Y(α ，t)关于α(α ≤t+hm)是(2)的伴随微分方程的矩阵解，即

满足初始条件Y(α，t)呏0，t<α ≤t+hm;Y(t，t)呏I（恒等阵），则方程(2)的具有连续可微初值函数的解x(t;t0，φ)，可表示为 这是系统（2）的常数变易公式。若（2）是滞后方程，Ak(t)呏0(k=1，2，…，m)，则(4)中关于Ak的和式不出现，也不要求φ(t)可微。

设线性系统为

只有一个时滞τ，而A，B为n×n常数阵。置方程detH(s)=0称为(5)的特征方程，它的根称为特征根，特征方程是超越方程，一般有无穷多个根，且全部在某一左半面上，即存在σ0，使一切特征根s的实部小于σ0，若ƒ的增长速度不快于某一指数幂，即有с1＞0，с2＞0，，且ƒ在[0，∞)上连续。对任意的初值函数φ(t)∈C 1([-τ，0])，用拉普拉斯变换可以把(5)的解表示为

， (6)

式中с是充分大的实数；

设x0(t)=x(t;t0，φ)是滞后型方程初值问题

的解；若对任意的ε>0，存在 δ(ε，t0)，当模 时，不等式成立，则称解x0(t)关于E抝上的扰动为稳定的。由于 (7)的解不一定能向左开拓或只有单侧连续依赖性， 解x0(t)可能关于E掲 上的扰动为稳定，而对某个，关于上的扰动不稳定。因此，方程(7)的解=x(t;t0，φ)为稳定的是指：对任意 ε>0及任意的≥t0，存在δ(ε，)，使对任何连续解x(t)，当时，成立|x(t)-x0(t)|<ε，t≥。如果δ只同ε有关，则称x0(t)是一致稳定的。如果在稳定的情况下，进一步有

， (8)

则称x0(t)为渐近稳定的。如果x0(t)为一致稳定，且对任意η>0，存在δ1(η)及T(η)>0，使当时，｜x(t)-x0(t)｜<η，t≥t0+T成立，则称x0(t)为一致渐近稳定的。对中立型方程凧(t)=ƒ(t，x(t)，x(t-τ)，凧(t-τ))的解x0(t)的稳定性可类似定义，但在估计在E掲上的扰动时，要用一阶模

。

若常系数线性系统

(9)

的特征方程的一切根有负实部，则(9)的零解一致渐近稳定，这时存在M≥1，γ>0，使下式成立：

， (10)

若有正实部的特征根，则零解不稳定。系统(9)与对应的常微分方程

(11)

在稳定性方面的关系如下：若(11)的零解渐近稳定，则对充分小的hm，(9)的零解渐近稳定；若(11)至少有一特征根具正实部，则对充分小的hm，(9)的零解不稳定；若(11)有单特征根零，其余特征根有负实部，则对充分小的hm，(9)的零解稳定。

因为特征方程的根都具有负实部的条件很难验证，特别当线性方程有变系数甚至是变时滞的偏差变元方程，特征根法就不适用，这时主要用李亚普诺夫直接法（见常微分方程运动稳定性理论）。

若线性系统

(12)

的零解一致渐近稳定，这时(10)成立。若

， (13)

式中，则摄动系统

的零解一致渐近稳定。这个结论可以用李亚普诺夫方法得到。