什么是信息熵?

什么是信息熵?,第1张

什么是信息熵?

[拼音]:xinxishang

[外文]:information entropy

信源的平均不定度。在信息论中信源输出是随机量,因而其不定度可以用概率分布来度量。记 H(X)=H(P1,P2,…,Pn)=


P(xi)logP(xi),这里P(xi),i=1,2,…,n为信源取第i个符号的概率。


P(xi)=1,H(X)称为信源的信息熵。

熵的概念来源于热力学。在热力学中熵的定义是系统可能状态数的对数值,称为热熵。它是用来表达分子状态杂乱程度的一个物理量。热力学指出,对任何已知孤立的物理系统的演化,热熵只能增加,不能减少。然而这里的信息熵则相反,它只能减少,不能增加。所以热熵和信息熵互为负量。且已证明,任何系统要获得信息必须要增加热熵来补偿,即两者在数量上是有联系的。

可以从数学上加以证明,只要H(X)满足下列三个条件:

(1)连续性:H(P,1-P)是P的连续函数(0≤P≤1);

(2)对称性:H(P1,…,Pn)与P1,…,Pn的排列次序无关;

(3)可加性:若PnQ1+Q2>0,且Q1,Q2≥0,则有H(P1,…,Pn-1,Q1,Q2)=H(P1,…,Pn-1)+PnH


;则一定有下列唯一表达形式:

H(P1,…,Pn)=-C


P(xi)logP(xi)

其中C为正整数,一般取C=1,它是信息熵的最基本表达式。

信息熵的单位与公式中对数的底有关。最常用的是以2为底,单位为比特(bit);在理论推导中常采用以e为底,单位为奈特(Nat);还可以采用其他的底和单位,并可进行互换。

信息熵除了上述三条基本性质外,还具有一系列重要性质,其中最主要的有

(1)非负性:H(P1,…,Pn)≥0;

(2)确定性:H(1,0)=H(0,1)=H(0,1,0,…)=0;

(3)扩张性:




Hn-1(P1,…,Pn-εε)=Hn(P1,…,Pn);

(4)极值性:




P(xi)logP(xi)≤


P(xi)logQ(xi);

这里


Q(xi)=1;

(5)上凸性:

H[λP +(1-λ)Q]>λH(P)+(1-λ)H(Q),

式中0<λ<1。

最简单的二元信源的信息熵性质如图所示。




当实际信源用随机序列X来表示时,它的熵可以直接推广为:


。但对连续信源则不能进行类似的推广。因为这样就必然会出现无限大量。1948年C.E.仙农建议用概率密度p(x)来定义H(X),




这样定义的熵虽然仍具有可加性等熵的主要性质,但已不具有非负性,因此也不再代表连续信源的信息量。但由于在大量实际问题中需要的仅是两个熵的差值,这时它仍具有信息量特征的非负性。因此,连续熵H(X)具有相对性,又称为相对熵。它与力学中的势能概念相仿。

从理论上看,仙农对连续熵H(X)的定义是不完善的。1951年S.库尔伯克研究信息论在统计学中的应用时,引入了信息变差的概念。从一种概率密度p0(x)转移到另一种概率密度p(x)的信息变差I(p0,p)为




其中要求p(x)对p0(x)绝对连续。

P0(x)是具有最大熵H0(X)的概率分布,则信息变差I(P0,P)=H0(X)-H(X),所以一般情况下的信息熵H(X)可表示为:H(X)=H0(X)-I(P0,P)。即信息熵可理解为最大熵与信息变差之间的差值。由于它对离散熵和连续熵都适用,从信息变差出发就能使离散熵和连续熵有统一的含义,并可以使连续熵的定义建立在更为合理的基础上。

参考书目
    周炯槃:《信息理论基础》,人民邮电出版社,北京, 1983。A.Feinstein, Foundations of Information Theory, McGraw-Hill,New York,1958.

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