什么是根轨迹法?

[拼音]：genguijifa

[外文]：root locus method

利用根轨迹分析和设计闭环控制系统的图解方法。特征方程（见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。在控制系统的分析中，对特征方程根的分布的研究，具有重要的意义。当特征方程的次数不高于2时,其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次数高于 2时，求根过程将变得相当复杂。美国学者W.R.埃文斯在1948年提出的根轨迹方法，为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。在把根轨迹技术应用于控制系统的分析时，常取系统的开环增益为可变参数,据此作出的根轨迹,表示闭环控制系统的极点在不同开环增益值下的分布。控制系统的极点在复数平面上的位置与系统的稳定性和过渡过程性能有密切的关系。根轨迹的建立，为分析控制系统在不同开环增益值时的行为提供了方便的途径。对于设计控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)，根轨迹法也是基本方法之一。根轨迹法和频率响应法被认为是构成经典控制理论的两大支柱。

对于图1中的控制系统,用G(s)和H(s)分别表示系统前馈通道和反馈通道中部件的传递函数，并且当s=0时它们的值均为1,而K表示系统的开环增益，则控制系统的根轨迹条件可表示为：

相角条件 开环传递函数KG(s)H(s)的相角值

庺{KG(s)H(s)}＝±1800(2k+1) (k＝0,1,2,…)

幅值条件 开环传递函数KG(s)H(s)的模

│KG(s)H(s)│＝1

系统的根轨迹，就是当开环增益K由零变化到无穷大时，由满足相角条件和幅值条件的 s值在复数平面上所构成的一组轨迹。

在控制系统的分析和综合中，往往只需要知道根轨迹的粗略形状。由相角条件和幅值条件所导出的 8条规则，为粗略地绘制出根轨迹图提供方便的途径。

（1）根轨迹的分支数等于开环传递函数极点的个数。

（2）根轨迹的始点（相应于K=0）为开环传递函数的极点，根轨迹的终点（相应于K=∞）为开环传递函数的有穷零点或无穷远零点。

（3）根轨迹形状对称于坐标系的横轴（实轴）。

（4）实轴上的根轨迹按下述方法确定：将开环传递函数的位于实轴上的极点和零点由右至左顺序编号，由奇数点至偶数点间的线段为根轨迹。

（5）实轴上两个开环极点或两个开环零点间的根轨迹段上，至少存在一个分离点或会合点，根轨迹将在这些点产生分岔。

（6）在无穷远处根轨迹的走向可通过画出其渐近线来决定。渐近线的条数等于开环传递函数的极点数与零点数之差。

（7）根轨迹沿始点的走向由出射角决定，根轨迹到达终点的走向由入射角决定。

（8）根轨迹与虚轴（纵轴）的交点对分析系统的稳定性很重要，其位置和相应的K值可利用代数稳定判据来决定。

图2是按照上述规则画出的一些典型的根轨迹图。

在有些情况下，有必要对按基本规则画出的根轨迹的粗略形状，特别是位于虚轴附近的部分，进行修正，使之精确化。实现精确化的一条比较简便的途径，是采用一种由埃文斯设计的所谓对数螺旋尺的专用工具。

70年代以来，随着电子计算机的普及，利用计算机对根轨迹的辅助制图的算法和程序都已建立，这大大减轻了系统分析和设计人员的繁重工作。

根轨迹的应用主要有三个方面。

（1）用于分析开环增益(或其他参数)值变化对系统行为的影响：在控制系统的极点中，离虚轴最近的一对孤立的共轭复数极点对系统的过渡过程行为具有主要影响，称为主导极点对。在根轨迹上，很容易看出开环增益不同取值时主导极点位置的变化情况，由此可估计出对系统行为的影响。

（2）用于分析附加环节对控制系统性能的影响：为了某种目的常需要在控制系统中引入附加环节，这就相当于引入新的开环极点和开环零点。通过根轨迹便可估计出引入的附加环节对系统性能的影响。

（3）用于设计控制系统的校正装置：校正装置是为了改善控制系统性能而引入系统的附加环节，利用根轨迹可确定它的类型和参数设计。

参考书目

绪方胜彦著，卢伯英等译：《现代控制工程》，科学出版社，北京，1976。（Katsuhiko Ogata， Modern Control Engineering， Prentice-Hall，New York，1970.）