什么是矩阵力法?

[拼音]：juzhen lifa

[外文]：matrix force method

按力法的基本原理，以矩阵为数学工具，计算结构的内力和位移的方法，是结构矩阵分析方法中的一种。

结构矩阵分析方法需将结构离散成有限数目的单元进行计算。矩阵力法中常用的单元形式为简支式和悬臂式，这两种单元较为简单，其中尤以简支式为常见。当单元承受非结点荷载时，可用等效结点荷载代替。其方法是将单元间的分界结点视为固定求出固端反力，然后反其向作用在结点上。

矩阵力法的基础是力法，计算超静定结构时要选取基本体系和基本未知力。选取的方法有两种：一种是根据结构的具体情况由计算者选取，并在人为选定的基本体系的基础上计算；另一种是把力法和线性代数中关于秩的知识结合起来，先建立结点平衡方程式，然后利用约当消去法，使多余的基本未知力自动分离出来，这种分析方法称为秩力法。由于前一方法与力法结合较为紧密，故较易了解和常用。

将原有荷载和基本未知力均视为外力时，可以得出结点作用力列矩阵


、结构基本未知力列矩阵


与单元基本未知力（杆端力）列矩阵


的关系式如下：

＝


P


+


X


(1)

式中


P和


X 分别表示结点作用力


和结构基本未知力


对基本体系的内力影响矩阵。

单元基本未知力


与相应杆端位移


之间的关系式为

＝


m


(2)

式中


m为未装配结构的柔度矩阵，它等于各单元柔度矩阵


(i)作为子块的对角矩阵。而杆端位移


与结点的荷载方向的位移


(包括结点作用力和基本未知力在荷载方向的位移


P和


X的关系式为

＝





(3)

式中


＝[


P嗈


X]T;


为杆端位移对结点的荷载方向位移的变换矩阵。根据虚功原理，可得


＝[


P嗈


X]T。

根据上面三式，可以得到

根据相应于基本未知力方向的变形协调条件，


=0，可得到式中

式(6)中


X称为已装配结构的柔度矩阵，即一般力法基本方程中的系数矩阵δ，而


P


即一般力法基本方程中的自由项矩阵


P，因而式(6)即为力法基本方程的矩阵表达式。由(6)即可求得


，代入(1)和(4)式，即得单元基本未知力


和结点荷载方向位移


P。既得列矩阵


，由平衡条件可求出单元全部杆端力列矩阵


为

(9)

式中


为单元基本未知力对单元全部杆端力的变换矩阵。实际杆端力矩阵为


a应由(9)式再叠加单元非结点荷载引起的固端力矩阵


f。第i单元实际杆端力矩阵应为

(10)

矩阵力法计算杆端力步骤为：

（1）选取基本体系和基本未知力；

（2）划分单元，并求出等效结点荷载；

（3）求出单元柔度矩阵


i，并构成


m；

（4）求出


X、


P，并由(7)(8)式求出


X、


P；

（5）由(9)式求出全部杆端力


，从而由(10)式求出实际杆端杆力


a。

用矩阵力法求静定结构的位移时，由公式(4)令基本未知力X＝0，即可得静定结构结点荷载方向位移的公式为

(11)

在超静定结构分析中，由于矩阵力法的基本未知数是多余力，因而在计算超静定次数较少的结构时较为合适。不过采用矩阵力法很难编制出适用于各种结构的大型通用程序。所以目前常采用基本体系的单元形式统一的矩阵位移法进行分析。

参考书目

普齐米尼斯基著，王德荣等译：《矩阵结构分析理论》，国防工业出版社，北京，1974。(J.S.Przemieniecki，Theory of Matrix Structural Analysis，McGraw-Hill， New York，1968.)