什么是能量原理?

[拼音]：nengliang yuanli

[外文]：energy principle

分析结构在荷载、温差等外因影响下所产生的应力、变形和位移状态的基本原理之一。能量是指结构作功的能力。d性结构在加载时产生变形，在卸载后又能恢复原状，说明若不计动能和热能的变化，荷载在结构上所作之功，将全部转化成结构的变形势能存储于结构之内，因而在卸载过程中具有恢复原状的能力，这是能量原理的依据。能量原理根据荷载作功过程中变形势能的变化规律，建立起一系列极值条件，作为解题的综合判据，从而避免直接解算大量偏微分方程，以简化解题手续。

用能量法分析结构，主要是寻求既满足边界条件，又同时满足势能为最小的位移函数或者余能为最小的应力函数。对许多难于求得精确解的工程问题，可用下述各个能量原理以求问题的近似解答。因此，在分析复杂结构的静力和动力问题中，能量原理得到广泛应用。

能量原理可从虚位移原理、虚力原理两个侧面研究。又根据势能和余能的变化情况，建立相应的极值条件，以解答具体问题，形成最小势能原理和最小余能原理。

也称势能原理、虚功原理。设结构在荷载作用下处于平衡状态。假定由于任何其他原因，使结构从其平衡位置偏离一个任意微小的、为边界约束条件所允许的虚位移（可以看作是真实位移的一个变分），荷载在虚位移上所作的虚功，将等于其内部应力在相应应变上所积累的虚变形势能。故虚位移原理可表述为：d性结构平衡的必要与充分条件是，对于任意微小的虚位移，荷载所作的总虚功δW等于其内部所积累的虚变形势能δU。即δU-δW＝0。

设结构在P力系作用下处于平衡。在某一可能虚位移过程中，与Pi力相应的虚位移设为墹i，则由可能虚位移引起的荷载势能变化为


，将使结构增加变形。设由此引起的变形势能的改变为δU，则结构的总势能改变δП可定义为内外两种势能变化之差，即

但是，在这个虚位移中，荷载始终保持不变，因而П只是可能虚位移的函数。故此式可改写成

泛函 П＝U-W代表结构在虚位移中的总势能。当结构处于平衡状态时，已知U＝W，从而有δП＝0，它说明：在一切满足边界条件的虚位移中，同时满足平衡条件的虚位移对应于结构势能的一个驻值，这就是结构势能驻值原理。对于线d性结构，势能的二阶变分恒为正，因而使总势能取最小值，所以这个原理又称最小势能原理。它意味着在所有满足边界条件的虚位移中，能使结构势能为最小的虚位移，满足平衡条件，因而就是真实的位移。在这种情况下，结构势能的驻值条件等价于平衡条件。

也称余能原理。设结构在荷载和支承位移影响下处于平衡状态。在位移保持不变的情况下，若让真实应力σ发生微小改变δσ，且使它们满足平衡条件和应力边界条件（称为可能虚应力），则虚力原理可表述为：对一切可能虚应力δσ而言，结构满足变形协调方程的必要和充分条件是，对于任意微小的可能虚应力，其变形余能的一阶变分δU*，等于位移边界上的相应边界反力所作荷载余功的一阶变分δW*，即


。

结构的余能变分可定义为

式中Ri、Ci分别为支承反力和相应的支承位移。在可能应力的变化过程中，应变和位移均保持不变，因而此式可改写为

泛函


代表结构的总余能，由余能原理，有δП*=0 。它说明：在所有满足平衡条件及边界条件的应力场中，同时满足相容应变场的应力场，对应于余能的一个驻值，这就是余能驻值原理。对于线d性结构，因有


，已知势能U的二阶变分恒为正，故П*将取最小值，因而最小余能原理可表述为：在一切满足平衡方程及边界条件的应力场中，真实的应力场应能使泛函П*成为最小。因而，余能的驻值条件等价于变形协调条件。

参考书目

龙驭球、包世华主编：《结构力学》下册，人民教育出版社，北京，1981。J.T.Oden and E.A.Ripperger，Mechanics of Elastic Structures，2nd ed.，Hemisphere Pub.， NewYork，1981.