什么是代数稳定判据?

什么是代数稳定判据?,第1张

什么是代数稳定判据?

[拼音]:daishu wending panju

[外文]:algebraic stability criterion

根据系统特征多项式的系数直接判断系统稳定性的判据。系统的特征多项式就是系统传递函数的分母多项式,它是复变数s的一个代数多项式,使这一多项式为零而求得的s值称为特征多项式的根。代数稳定判据只适用于线性定常系统(见线性系统、定常系统)且其特征多项式能给出的情况。线性定常系统稳定的充分必要条件,是其特征多项式的根均具有负实部,亦即均位于不包含虚轴的左半s复数平面内。代数稳定判据的优点是可以避免求根的复杂过程,直接根据多项式的系数的一些代数运算,来判定系统是否满足上述稳定条件。

必要条件

若系统的特征多项式为




其中a0,a1,…,an均为实数,则系统为稳定的必要条件是系数a0,a1,…,an均为正数。

劳思判据

1875年英国数学家E.J.劳思所建立,根据D(s)的系数组成如下的劳思表。




系统为稳定的充分必要条件是劳思表的第一列元素C11、C12、C1n、C1n+1均为正数。

胡尔维茨判据

1895年德国数学家A.胡尔维茨所建立。根据D(s)的系数组成如下的n×n胡尔维茨矩阵:




其中下标指数大于 n的元均用零代替。系统为稳定的充分必要条件是矩阵H的一切顺序主子式和a0均为正数,即0=a0>0,1=a1>0,2=a1a2-a0a3>0,…,n=|H|>0。其中│H│表示矩阵H的行列式。理论研究表明,胡尔维茨判据实质上与劳思判据是完全等价的。

代数稳定判据的其他应用

除了判断系统的稳定性,代数稳定判据尚可用于:

(1)确定不稳定系统特征多项式的正实部根的数目:它等于劳思表中第一列的各系数符号的改变次数。

(2)判断系统是否具有所期望的衰减度:设期望衰减度为e-αt(α >0);则取s=λ-α 并代入D(s),可得出以λ为待定量的新多项式β(λ)。对β(λ)运用代数稳定判据,如果稳定就意味着系统具有期望的衰减度,否则就不具有期望衰减度。

(3)建立参数稳定域:对D(s)中包含的一个或几个可变动系数,通过应用代数稳定判据可确定出系统为稳定时的系数范围,由此可构成参数稳定域。

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