什么是循环褶积?

[拼音]：xunhuan zheji

[外文]：cyclic convolution

两个给定的序列分别延拓为周期性序列后，按周期褶积原理对其进行运算，结果也是一个周期性序列。如果仅取其一个周期内的结果，就得到循环褶积的序列。设有两个长度均为N的序列x(n)和h(n)进行褶积，先将它们经周期延拓变为周期序列慜(n)和愢(n)，即

慜(n+kN)＝慜(n) 愢(n+kN)＝愢(n) 0≤n≤N

式中k为任意整数，序列x(n)和h(n)可以分别看作周期序列慜(n)和愢(n)在一个周期内的主值序列。

x(n)和h(n)的循环褶积定义为

y(n)＝x(n)


n(n)＝


x(l)n(n-l)NRN(n)

n＝0，1，2，…，N-1

其中RN(n)是矩形序列

RN(n)＝

nN是余数运算表达式，它表示n对N 求余数。

现举例说明循环褶积的计算过程。例如，两个有限长度序列同为矩形序列

x(n)＝n(n)＝

这两个矩形序列的N点循环褶积见图。这个褶积过程可以理解为序列x(n)分布在N等分的圆筒壁上，而序列h(n)经卷褶后也分布在另一个N等分的同心圆筒壁上，每当两个圆筒停在一定的相对位置时，两个序列相乘求和即得褶积序列中的一个值。然后将一个圆筒相对于另一个圆筒旋转移位，依次在不同位置下相乘求和，就得到全部褶积序列。由于序列h(n)是等值的，所以x(n)旋转时，乘积x(l)h(n-l)的和总是等于N。

如果两个序列x(n)和h(n)的长度分别为N和M，设x(n)代表信号序列，h(n)代表线性系统的冲激响应序列，则要求系统输出是线性褶积

y(n)＝x(n)*h(n)

为了从它们的循环褶积得到线性褶积而不发生序列交叠的混淆现象，要将两序列的长度各扩长为L≥


+N-1，即x(n)只有前N个非零值，后L-N个均为补充的零值;而h(n)只有前M个是非零值，后L-M个均为补充的零值。由此求循环褶积，其结果就等于两序列的线性褶积。

用快速傅里叶变换计算循环褶积，当N 较大时，直接计算循环褶积的运算量相当大。因此，有必要寻求简便、快速计算循环褶积的变换方法。为此，所用变换的快速结构必须具有若干良好的性质。

（1）循环褶积性，即两个序列的循环褶积的变换等于它们各自变换的乘积；

（2）变换是可逆的；

（3）变换是线性的。满足上述性质的变换方法有傅里叶变换、数论变换等。

当采用快速傅里叶变换(FFT)技术求解褶积时，两个时域序列的循环褶积的离散傅里叶变换 (DFT)等于它们的离散傅里叶变换之乘积，即

Y(k)＝DFT[x(n)


n(n)]＝X(k)H(k)

对Y(k)求离散傅里叶反变换(IDFT)，即可得到两个序列的循环褶积

y(n)＝IDFT[Y(k)]

由上述计算过程可看出，直接褶积所需乘法运算次数为N2，利用FFT算法计算循环褶积共需要三次FFT运算（计算IDFT所需乘法次数与计算DFT的相同）与N 次乘法，总共需要乘法次数为

所以，N 越长，利用快速变换算法计算循环褶积的优越性越大。通常将循环褶积也称为快速褶积。

参考书目

何振亚著：《数字信号处理的理论与应用》上册，人民邮电出版社，北京，1983。A. V. Oppenheim， R. W. Schafer， Digital Signal Processing， Prentice Hall， Inc.， Englewood Cliffs，New Jersey，1975.