关于解析数论介绍

[拼音]：jiexi shulun

[外文]：analytic number theory

数论中以分析方法作为研究工具的一个分支。分析方法在数论中的应用，可以追溯到18世纪L.欧拉的时代。欧拉证明了对实变数s>1有恒等式成立，并由此推出素数有无穷多个。欧拉恒等式(*)是数论中最重要的定理之一，是算术基本定理的解析等价形式，揭示了素数p和自然数n之间的积性关系。他还提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。其后，P.G.L.狄利克雷应用分析方法于1837年解决了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数的问题，又于1839年推证出二次域的类数公式。他创立了研究数论的两个重要工具，即狄利克雷(剩余)特征标与狄利克雷l函数，奠定了解析数论的基础。

1859年，（G.F.）B.黎曼发表了一篇关于不大于x的素数个数π(x)的著名论文《论不大于一个给定值的素数个数》，这是他在数论方面公开发表的惟一的文章。他把恒等式(*)的右边的级数记作ζ(s)，所不同之处是把s看作复变数。现在称ζ(s)为黎曼ζ函数。他认为素数性质可以通过复变函数ζ(s)来探讨，并对复变函数ζ(s)做了深刻的研究，得到许多重要结果。特别是他建立了一个与ζ(s)的零点有关的表示π(x)的公式。因此研究素数分布的关键在于研究复变函数 ζ(s)的性质，特别是ζ(s)的零点性质。这一杰出的工作，是复变函数论的思想和方法应用于数论研究的结果。黎曼开创了解析数论的新时期，也推动了单复变函数论的发展。在文章中他提出了一个猜想：ζ(s)的所有复零点都在直线 Res=1/2上。这就是所谓黎曼猜想。它是至今没有解决的最著名的数学问题之一。它的研究对解析数论和代数数论的发展都有极其深刻的影响。

1896年，J.（-S.）阿达马与C.de la瓦莱-普桑严格地按照黎曼提出的方法和结果，用整函数理论，同时证明了素数定理：当x→∞时，π(x)～x(lnx)-1。从此解析数论开始得到迅速发展，而在此以前的30年中却无显著进展。

在数论中应用分析方法，大致有两种情况：一是数论问题本身不涉及分析概念。这类问题又可分为两种情形，或者有一些问题不应用分析方法就不能解决，例如，上述的狄利克雷的两个工作、三素数定理（见数论、堆垒数论）、华林问题；或者有一些问题应用分析方法可使证明简单、可以对问题做定量研究，例如，应用母函数法对整数分拆的一些恒等式的证明、欧拉证明素数有无穷多个的分析方法导致H.默滕斯证明了关于素数平均分布的三个定理、堆垒数论的许多问题引入分析方法证明解的存在性，得出解数的渐近公式或上下界估计。二是数论问题本身必须用分析概念才能表达清楚。例如，关于素数定理，即不大于x的素数个数π(x)等于多少的问题（见素数分布）。此外，利用分析概念还可提出新的数论问题，例如各种数论函数的阶估计及均值估计（见格点问题）。

解决一个数论问题需要用到多深的分析工具，或者能否不用分析工具。这也是数学家努力为之探索的问题。例如，在1949年A.赛尔伯格与P.爱尔特希不利用ζ函数，且除了极限、ex和lnx的性质外，也不需要其他的分析知识，给出了素数定理一个十分初等的分析证明。当然它是很复杂的。

解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究。解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。模形式论与解析数论有密切关系。