关于基数介绍

[拼音]：jishu

[外文]：cardinal number

又称势，集合论基本概念之一，是日常用以表示多少的数的概念的推广和发展。按照G.（F.P.）康托尔的原意，集合A的基数是一切与A 具有等势关系的集(即存在一个双射把集合A的全部元素映成另一集合的全部元素)的共同特征，是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果，所以用戞表示(较多用|A|)。（F.L.）G.弗雷格与B.A.W.罗素分别在1884年与1902年把戞 定义为所有与集A 等势的集所成之集，即戞＝{B｜B～A}。这一定义虽然形式简单明了，但在ZFC系统中却不能证明它构成一个集合。事实上，{B｜B～A}对于任何非空集A，是一个真类。因为由{B|B～A}是一个集可以推出所有的集合也构成一个集，而这是著名的康托尔悖论(1899)与罗素悖论(1903)产生的根源。1928年J.冯·诺伊曼建议用一个特殊的与A等势的集，即所有与A等势的序数中最小的一个作为A的基数，这样的序数称为初始序数，根据计数定理与序数的良序性，对于任何集A，它所对应的初始序数是必定存在且惟一的。两个集A、B具有相同基数的充要条件是A～B，这完全符合G.康托尔的原意。当集的基数为有限序数时，称该基数为有限基数，否则称为超限基数。它们所对应的集分别称为有限集与无限集。可以证明集 A为无限的充要条件是存在A的一个真子集A1，使得A1～A。与自然数集N等势的集称为可数集，它的基数是ω，但习惯上常用堗0表示。整数集Z、有理数集Q、整系数多项式集Z[x]、代数数集、n 维欧氏空间En中的格子点集等都是可数集的例子。每一个无限集都存在可数子集，而可数集的任一无限子集必为可数集。在基数序的意义下，堗0是最小的无限基数，即可数集是最小的无限集。可数集与有限集一起合称至多可数集。非可数的无限集称不可数集。无理数集、超越数集、区间(α，b)中的点集、[0，1]上的连续函数集C[0，1]、n维空间En的点集、定义在[α，b]上的函数集等等都是不可数集的例子。

设α、β为两个基数，A、B为两个集，|A|=α，|B|=β，可以定义基数的大小关系及和、积、幂等运算如下：

α ≤β当且仅当存在一个从A到B的单射；

α<β当且仅当α≤β且α≠β；

α＋β=|{0}×A∪{1}×B|；

α·β=｜A×B｜；

αβ=｜AB｜

其中AB ={ƒ:B→A}。在上述定义中，虽然形式上需要通过集A、B来表述，但事实上它们都只与α、β有关，而不依赖于A、B的选取。即对于任何集C、D，只要｜C｜=α，｜D｜=β，所得的结果就保持不变。这就保证了定义的合理性。此外和与积还能推广到任意基数列αβ(β<γ)。设β<γ时｜Aβ｜=αβ则可定义

，

。

对于任何基数α、β、у，下列性质成立。

（1）传递性：若α ≤β且β≤у则α ≤у。

（2）自反性：α ≤α。

（3）反对称性：若α ≤β且β≤α 则α ＝β。

（4）强连结性：α ≤β与β≤α 二者必居其一。

（5）结合律：α +(β+у)=(α +β)+у；

α (β·у)=(α ·β)·у。

（6）交换律：α＋β＝β＋α；α·β=β·α。

（7）存在恒等元：0＋α＝α；1·α＝α。

（8）分配律：α (β+у)=α·β+α·у。

（9）同底幂的积：。

（10） 幂的幂：。

积的幂：。

性质①～④说明基数的≤是一个全序关系，其中性质③称为康托尔-伯恩斯坦定理，它是集合论中的一个重要定理，可用以确定若干集合的基数。1895年G.康托尔给出了这一命题的等价形式：设A、B为两个集合，若A与B的子集B1等势，B与A的子集A1等势，则A与B等势;并在基数可比较的前提下给予证明。1896年F.W.K.E.施罗德在一篇论文的摘要中提到这条定理。他于1898年发表的证明虽不借助于基数的可比较性，但仍不完善。第一个满意的证明是伯恩斯坦在1898年给出的，所以有些数学家称它为施罗德-伯恩斯坦定理。性质④称为基数比较定理是选择公理的等价命题之一，最初由G.康托尔提出：设A、B为两个集合，则A与B的某一子集B1等势或B与A的某一子集A1等势，两者必有一个成立；并用以证明性质③。1915年由F.M.哈托格斯给予证明。关于基数的序与运算的其他重要性质还有：对于任何基数k，总存在一个比k大的基数λ，即不存在最大的基数。此性质是1873年首先由G.康托尔以下述形式提出的:任何集A的幂集P(A)具有比A大的势， 即｜A｜<｜P(A)｜，故称康托尔定理。由于在集P(A)与集2A间存在自然的双射，所以这性质也可表为2x>k， 其中k=｜A｜。于是， G.康托尔把无限分成无限多个严格递增的等级，奠定实无限在数学研究中的地位，启迪人们提出连续统假设与广义连续统假设。他在证明中所使用的对角线方法，也具有重要的方法论意义。已经知道最小的无限基数是堗0，并用堗1表示大于堗0的最小基数，用 堗2表示大于堗1的最小基数。一般地，设α是任一序数，并且对于任何小于α的序数β，堗β均已定义，则当α 为某一β的后继序数时，规定堗α是大于堗β的最小基数，称为无限后继基数；当α为极限序数时，规定，称为极限基数。这样就建立起序数与无限基数之间的一一对应关系。基数的加、乘运算具有许多通常熟悉的性质，如结合律、交换律、分配律等，但有些重要性质，例如对消律，却仅对有限基数，即自然数成立。设λ，k为任意基数，λ≥k≥1，λ≥堗0，则λ·k=λ+k=λ 。这一结果与下述命题等价:对于任何无限基数 k，k·k＝k＋k＝k，即任意k个基数为k的集合的和集，其基数为k；或者，任意不超过k个基数不超过 k的集合的和集， 其基数不超过 k。特别地，当k＝堗0时， 就有任意可数个可数集的和集是可数集；或至多可数个至多可数集的和集是至多可数的。上述命题是选择公理的一个等价形式，将它深化一步， 可得：对于任何序数α，与 成立。 把基数的运算与序相结合而得到的结果。最重要的是下述柯尼希定理：设kβ与λβ(β<α)是两个基数列，如果对于任何β<α，总有kβ< λβ，则。这是康托尔定理2x>k的一个推广， 并且可以证明它是选择公理的一个等价形式。

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