关于地图投影介绍

[拼音]：ditu touying

[外文]：map projection

按一定的数学法则，把地球椭球（或球）表面的经纬线网转化为平面上相应的经纬线网的理论和方法。这种转化的实质，是将地球椭球（或球）表面上的点表示在平面上。其一般数学解析式为:x=f1（嗘，λ），у=f2（嗘 ，λ）。嗘、λ 是地球椭球（或球）表面点的地理坐标，x、у是平面上相应点的直角坐标，函数f1、f2在一定域内必须是单值、有限而连续的。

地图投影的变形

因为地图是一个平面，而地球椭球（或球）表面是不可展开的曲面。把不可展开的曲面上的经纬线网描绘成平面上的图形，必然会发生各种变形。这就使地图上不同点位的比例尺不能保持一个定值。通常，地图上注明的比例尺，是指计算地图投影时把地球椭球（或球）缩小的比率，称为主比例尺；而表现在地图不同点位上的实际比例尺，有的等于主比例尺，有的大于或小于主比例尺，称为局部比例尺。在同一个点的不同方向上也会有不同的局部比例尺。地图投影的变形一般有长度、面积、角度（即形状）等几个方面。

地图投影中的变形可用变形椭圆来形象地描述。变形椭圆是地球椭球（或球）表面上一点的半径为单位值的微分圆，在投影面上一般成为一个微分椭圆。研究这个椭圆可以解释投影中的变形特性及其大小。

图1中0栏表示投影中只有个别点或线上能保持主比例尺。1栏表示变形椭圆长、短半径ɑ、b都比实地的r放长或缩短，但 ɑ=b，因此形状没有变化。2栏表示ɑ、b中的一个等于1，另一个不等于1，因此形状有变化。3栏表示ɑ、b都不等于1，但它们之间保持有一定的关系，即ɑ=1/b或ɑb=1，因此形状变了但面积没有变化。 4栏里的形状和面积均发生了变化。任何地图投影的变形性质，必属于图1中的某一栏。

地图投影的分类

地图投影是按投影的变形性质或正常位置下投影的经纬线形状进行分类的。

按变形性质分类如图1所示，可分为：

（1）等角投影（正形投影）。因ɑ=b，所以这种投影能保持微小面积的图形同实地相似，或者说两个方向之间的夹角大小投影后保持不变。

（2）等距离投影。因为或者ɑ、或者b等于1，这种投影能保持一定方向上线段（实践中常常指沿经线或通过一共同点的大圆系列）的长度不变。

（3）等面积投影。因为ɑb=1，变形椭圆面积为πɑb=π，而实地微分圆面积πr2 =π（因为r =1），两者相等，所以投影后面积大小保持不变。

（4）任意投影。凡不属于等角或等面积的投影都可称为任意投影。等距离投影是任意投影的一种。

按正常位置下经纬线形状分类。通常设想用某种可以展开的曲面作为辅助面，如圆锥面、圆柱面或平面，其最终目的是获取经纬线的平面表象。关于辅助面与地球椭球（或球）的相对位置，有图2中的各种情况。

（1）圆锥投影。纬线投影为同心圆弧，经线投影为同心圆弧的半径，两经线间夹角与相应的经差成正比。

（2）圆柱投影。纬线投影为一组平行直线，经线投影为一组与纬线正交的平行直线，其间隔与相应的经差成正比。

（3）方位投影。纬线投影为同心圆，经线投影为同心圆的半径，两经线间的夹角与相应的经差相等。

图2中辅助面与地球相切或相割之处为一条线（如在切圆锥A2、A3，切圆柱B1、B3，割方位C3），或两条线（如在割圆锥A1、割圆柱B2），或一个点（切方位C1、C2），在这些线或点上没有变形。没有变形的纬线(如 A1、B1)称为标准纬线，没有变形的经线称为标准经线。

此外，有些投影不设某种几何辅助面，而设一些其他假定条件，如：伪圆锥投影，纬线投影为同心圆弧，圆心位于中央直经线上，其他经线投影为对称于中央直经线的曲线。伪圆柱投影，纬线投影为平行直线，经线投影为对称于中央直经线的曲线；为了适应世界大陆的分布情况，伪圆柱投影可以作分瓣处理（图3）。伪方位投影，纬线投影为同心圆，圆心位于中央直经线上，其他经线投影为对称于中央直经线的曲线。多圆锥投影，纬线投影为同轴圆弧，圆心位于中央直经线上，其他经线投影为对称于中央直经线的曲线（图4）。

一个完整的投影名称能体现投影的变形、经纬线形状和辅助面与地球的相对位置。例如在常用投影中，用于中国全图的有斜轴等面积方位投影（图5），用于中国大陆部分的有双标准纬线等角圆锥投影（图6）。有的投影则用创造者、改进者的名字命名，如用于航海图的墨卡托投影（实质上是等角圆柱投影，图7）；用于中纬度地区的兰伯特等角圆锥投影和亚尔勃斯等面积圆锥投影；用于广大地区小比例尺地图的彭纳伪圆锥投影（图8）;用于地形图的高斯-克吕格尔投影等。

等变形线与地图投影的应用

地图投影中各种不同变形的分布特点各不相同。投影中变形相等的点的联线称为等变形线。正轴圆锥投影中的等变形线是与纬线一致的同心圆弧。正轴圆柱投影中的等变形线是与纬线一致的平行线。横轴圆柱投影中的等变形线是对称于中央经线的平行线。各种方位投影中的等变形线是以投影中心点为圆心的同?脑病Ｆ渌髦滞队暗牡缺湫蜗咴蚋丛映潭炔煌ǔＪ嵌猿朴谥醒胫本叩那摺?

在选择和应用投影时，要考虑制图区域的地理位置、大小和形状等因素，使等变形线尽可能同制图区域轮廓一致。如两极地区可采用正轴等距离（或等角）方位投影（图9）;广大中纬度地区通常采用正轴圆锥投影；沿赤道地区宜采用正轴圆柱投影;沿经线伸展的地区可采用横轴圆柱投影;具有圆形轮廓的地区，可应用把投影面切于区域中心处的各种方位投影；东西半球图常用横轴方位投影；太平洋、印度洋图常用伪圆柱投影；大西洋图宜用伪方位投影等。

地图主题内容对投影变形也有一定要求。例如，经济图有时要同地区面积联系，宜用等面积投影；如要在图上量算角度距离，则宜用等角投影；要求某种变形不特别显著，则可用任意投影中的等距离投影。地形图用于军事和经济建设，要求高精度，故采用按经线分带的高斯-克吕格尔投影（图10）。有些国家也用UTM投影，即通用横轴墨卡托投影。为某种特殊需要，可采用符合特殊条件的投影，在这种情况下，对变形的限制则是次要的。例如航海图常用等角圆柱投影（墨卡托投影）。虽然这种投影高纬度处变形巨大，但它具有等角航线表示为直线的优点，便于航行中图上作业。为了迅速求定大圆航线位置，就应采用各种位置的球心透视方位投影（日晷投影）。这种投影虽然变形很大，但它具有任何大圆均表现为直线的优点。

在实际应用地图投影时还要考虑地图的比例尺和使用方式，地图的出版方式，以及对地图投影的其他特殊要求等。

地图投影的变换

随着地图制图自动化的发展，研究将一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的理论和方法日益重要和迫切。在制图自动化作业中，如变换地图投影，必须首先提供从一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的关系式，即数学模式，以利于在使用电子计算机时，编制进行变换计算所需要的程序。

地图投影变换实质上是两平面场之间点的坐标变换。假定原图点的坐标为x、y，新编图点的坐标为X、Y，则点的坐标变换的基本方程式为：

X=F1(x，y)，

Y=F2(x，y)。

地图投影点的坐标变换通常有解析变换法、数值变换法和数值解析变换法等3种。

解析变换法。是找出两投影间坐标变换的解析计算公式。按采用的计算方法的不同可分为：

（1）反解变换法，或称间接变换法。是通过中间过渡的方法，反解出原地图投影点的地理坐标嗘、λ ，代入新投影中求得新投影的坐标，即。对于投影方程为极坐标形式的投影或斜轴投影来说，由x、y 反求嗘、λ，中间还需要通过一系列的过渡才能实现。

（2）正解变换法，或称直接变换法。该法不要求反解出原地图投影点的地理坐标嗘、λ ，而直接求出两种投影点的直角坐标关系式。例如，由复变函数理论知道，两等角投影间的坐标变换关系式为X+iY=f(x+iy)，即。

（3）综合变换法。是将反解变换方法和正解变换方法结合在一起的一种变换方法，通常是根据原投影点的坐标x反解出嗘，然后根据嗘、y而求得新投影点的坐标X、Y，即。

数值变换法。如果不知道原投影点的坐标解析式，或不易求出两投影点之间坐标的直接关系式，可以采用二元幂多项式来建立两投影间的变换关系式。例如，三次幂多项式为：

X=ɑ00+ɑ10x+ɑ01y+ɑ20x2+ɑ11xy+ɑ02y2+ɑ 30x3+ɑ 21x2y+ɑ12xy2+ɑ03y3，

Y=b00+b10x+b01y+b20x2+b11xy+b02y2+b30x3+b21x2y+b12xy2+b03y3。

在此情况下，需在两投影之间选定10个共同点的平面直角坐标(X噯，Y噯)和(Xk，Yk)，分别建立二组线性方程组，即可求得系数 ɑij、bij值。这种方法属直接求解多项式的正解变换法。为了使两投影间在所选定的点上有最佳的逼近，应选择多于10个以上的共同点，根据最小二乘法原理，新投影的实际变换坐标值和真坐标值之差的平方和为最小，即：

为最小。根据求极值的原理，应分别令ε 对ɑij、ε′对bij 的一阶偏导数为0，由此便分别得到二组线性方程组，即可求得ɑij、bij 值。这种方法属按最小二乘法逼近确定多项式的正解变换法。

数值解析变换法，或半数值法。已知新投影方程式，而原投影方程式不知道时，可采取类似上述的多项式，仅需将X、Y换为嗘、λ ，按照上述方法，求得原投影的地理坐标嗘、λ ，然后代入新投影方程式中，即可实现两种投影间的变换。