关于函数值分布论介绍

[拼音]：hanshuzhi fenbulun

[外文]：theory of value-distribution

复变函数论中历史悠久、理论完美的一个分支。

初等代数的一个基本问题是求多项式的零点。然而一些理论和实际问题还要求研究较为广泛的函数类──整函数和亚纯函数的取值情况，这便是函数值分布论的主要研究内容。

1879年法国著名数学家(C.-)É.皮卡借助于模函数证明了：若ƒ(z)为一整函数，且不蜕化为常数，则对于任意复数α（值∞包括在内），方程ƒ(z)=α都有根，至多除去两个例外值。皮卡定理是函数论中一个十分深刻的结果，它奠定了值分布论的基础。以后М.拉盖尔、（J.-）H.庞加莱等曾经继续从事研究。J.（-S.）阿达马建立了整函数与亚纯函数的分解定理，并且将其应用于ζ函数的零点的研究。

1896年(F.-É.-J.-) É.波莱尔正式引入整函数的级的概念，把皮卡定理大大推进了一步。他证明了:若ƒ(z)为一整函数，其级ρ是有穷正数，则对于任意复数α有

，

至多除去两个例外值。这里n(r，ƒ=α)表示｜z｜≤r上ƒ(z)= α的根的个数，且k重根计算k次。波莱尔定理的证明基于函数的增长性，是纯分析的，对以后值分布论的发展有很大影响，皮卡和波莱尔定理可被推广到亚纯函数的情况。

20世纪初，有很多学者从事值分布论的研究，其中应特别提到E.L.林德勒夫、L.O.布卢门塔尔、A.当儒瓦、A.威曼、G.瓦利隆、J.E.李特尔伍德等。还有很多研究工作与值分布论密切相关，诸如延森公式，兰道定理，朔特基定理，关于渐近值的著名的当儒瓦猜测（后来为L.V.阿尔福斯证实），应用广泛的菲拉格芒－林德勒夫原理，蒙泰尔关于正规族的理论以及F.艾弗森关于反函数的研究等。

1919年G.朱利亚应用蒙泰尔的正规定则证明了：若ƒ(z)为超越整函数，则至少存在一条从原点发出的半直线J:argz=θ0(0≤θ0<2π)，使得对于任意正数ε与所有复数α在角域｜argz-θ0｜<ε内ƒ(z)= α都有根，至多可能除去两个例外值。这样的方向称为ƒ(z)的朱利亚方向。朱利亚定理开创了在一射线附近函数取值情况的研究，这类研究称为辐角分布论；而在整个平面上函数取值的研究，则称为模分布论。1924年H.米洛证明了所谓充满圆的存在，把朱利亚定理向前推进了一步。

1925年，芬兰数学家R.奈望林纳把亚纯函数作为主要研究对象，建立了两个基本定理。他的研究使值分布论呈现了崭新的面貌，开始了值分布的近代理论（也常常称为奈望林纳理论）。这是对20世纪数学发展的一个重大贡献。对于亚纯函数ƒ(z)和任意复数α，除去量n(r，ƒ=α)外，还可考虑其积分平均值

奈望林纳引入特征函数T(r，ƒ)=m(r，ƒ)+N(r，ƒ=∞)，式中 而 。这时ƒ(z)的级被定义为

他进一步定义

。

当δ(α，ƒ)>0时，则称α为ƒ(z)的亏值，δ(α，ƒ)为其亏量。奈望林纳理论的主要结果是：对于超越亚纯函数ƒ（z），其亏值至多是可数的，并且相应的亏量总和不超过2，即δ(α，ƒ)≤2。这个式子称为亏量关系。

应用奈望林纳理论，瓦利隆于1928年将朱利亚方向和充满圆作了重大发展，证明了波莱尔方向的存在性。若ƒ(z)为ρ(0<ρ<∞)级亚纯函数，则至少存在一条从原点出发的半直线B:argz＝θ0(0≤θ0<2π)，使得对于任意正数ε与所有复数α有

至多除去关于α的两个例外值。在这里 n(r，θ0，ε，ƒ=α)表示域(｜z｜≤r)∩(｜argz-θ0｜≤ε)上 ƒ(z)＝α的根的个数。

这一阶段有很多杰出的学者从事值分布论的研究。除去奈望林纳兄弟、瓦利隆、米洛，还有阿尔福斯、A.布洛赫、H.嘉当、M.L.卡特赖特、O.泰希米勒等。值分布论关于例外值的研究实质上等价于函数的黎曼曲面的分支性质的研究。随着值分布论的发展，就对黎曼曲面的研究提出了一系列问题。这方面奈望林纳兄弟和阿尔福斯等学者做了不少工作。

在第二次世界大战期间以及战后的几年里，函数值分布论的研究较为沉寂。但是从50年代中期以来，这方面的优秀工作又屡有出现。其中A.埃德雷与W.H.I.富克斯、A.A.戈尔德贝格关于亚纯函数的亏值与亏量的一系列研究，W.K.海曼关于亚纯函数结合于其导数的一个基本不等式，D.德拉辛关于奈望林纳理论的反问题的彻底解决以及奈望林纳猜想的彻底解决，A.韦茨曼证明了有穷级亚纯函数的每个亏量的立方根仍然构成收敛级数等则是其中杰出的代表。1973年，A.伯恩斯坦基于值分布论与傅里叶分析，引进了T*函数，并用以证明了所谓展布关系。以后，T*函数在单叶函数、整函数的最小模等方面也取得了应用。

函数值分布论还被推广到代数体函数（G.雷蒙多斯、瓦利隆、H.塞尔伯格、E.乌里希），亚纯曲线（H.外尔、J.韦尔、阿尔福斯、伍鸿熙）以及多复变函数（陈省身、R.博特、P.格里菲思、W.斯托尔）。围绕着推广奈望林纳的两个基本定理与亏量关系，每个方面都有不少研究工作。

在熊庆来的倡导下，庄圻泰、杨乐、张广厚等从事值分布论的研究，取得了显著的成果。具有代表性的研究工作有关于无穷级亚纯函数值分布的研究，奈望林纳第二基本定理的推广与亏函数，亚纯函数亏值数目与波莱尔方向数目的关系，波莱尔方向的分布规律，关于渐近值的研究，亚纯函数的辐角分布等。

参考书目

1. 杨乐著：《值分布论及其新研究》，科学出版社，北京，1982。
2. R.Nevanlinna，Analytic Functions. Springer-Verlag，Berlin，1970.
3. W.K.Hayman，Meromorphic Functions，Oxford Math.Monographs，Oxford Univ.Press，London，1964.