关于固体中的d性波介绍

[拼音]：guti zhong de tanxingbo

[外文]：elastic waves in solids

也叫固体中的应力波。它是固体中的一种机械波动，把固体中某一点或部分受力或其他原因的扰动引起的形变，如体积形变或剪切形变，以波动的形式传播到固体的其他部分。在波动传播过程中，固体中的质点除在它原来的位置上有微小的振动外，并不产生永久性的位移。因为固体有d性，d性力有使扰动引起的形变恢复到无形变的状态的能力，于是形成波动。d性是固体中能形成波动的主要原因。

在各向同性无限大的固体中，可以有两种类型的d性波。一种是纵波，另一种是横波。在各向同性无限大的固体中，纵波传播速度为

(1)

式中с1是固体中纵波的传播速度，单位为m/s，ρ是固体媒质的密度，单位为kg/m3，μ┡和μ是有量纲的常数，常称为拉梅常数，μ也称为切变模量或切变d性系数，E是d性模量，σ 是泊松比。纵波在固体媒质中传播时，常使固体的体积有交替的压缩和膨胀，因此纵波又叫膨胀波。横波在固体中传播的速度是

(2)

式中сt是横波传播速度。横波在固体中传播时不引起体积变化。横波又称为切变波或旋转波。地震时在地壳中常引起纵波和横波，即所谓P波和S波。因为纵波速度с1大于横波速度сt， 所以地震时P波比S波早到远离震源的观测点。

在各向同性半无限的固体中，或一种固体与另一种固体的分界面处，波动入射在分界面上时除产生反射波和折射波外，还会引起波型的转换，如图1所示。AB代表两种不同固体的分界面，NON┡为AB平面上的法线，如CO表示入射到AB平面上O点的平面纵波的波束，除在分界面处反射和折射而形成的反射纵波OD和折射纵波OF外，还转换成反射横波OE和折射横波OG。入射角i、反射角γ和α、折射角β和γ的大小，与固体1和固体2中的波速有关，可用斯涅耳定律

(3)

求出。式中с11和с12是固体1和固体2中的纵波速度，сt1和с掯是固体1和固体2中横波速度。

如入射波为横波，在考虑反射波和折射波时须注意入射横波质点振动的方向。

在各向导性的固体，如晶体中，则沿不同晶轴方向传播的纵波和横波的速度也不同。

除各向同性无限固体中的纵波和横波外，在有限固体中，因不同形状和不同性质的界面的限制，还有其他类型的d性波，如瑞利波、乐甫波和斯顿莱波等（见声表面波）。

在固体棒中传播的d性波，因受棒的界面和与棒相接触的媒质的影响，与在无限固体中传播时的情况不同。由于边界条件不容易满足，很难求得有限棒和有限板中波动的严格解，只能在特殊条件下求得近似解。

处于真空或空气中的各向同性而长度无限的细棒，即棒截面尺度远小于波动的波长，可以认为棒表面是自由的。在这种情况下，一般可以有三种不同类型的波动，它们是纵波、弯曲波和扭波（分别见图2中a、b、c）。

图2a中，AB是无限长细棒的一段，当A端平面受垂直于该面的力的扰动，这样引起的形变将成为平面纵波从A端向B端传播。与棒轴垂直的各个截面像一个整体，沿棒方向振动。图中竖线密的地方表示媒质被压缩，线稀疏的地方表示媒质被拉伸，如泊松效应引起的横向形变可以略去不计时，则棒中纵波的波动方程是

(4)

纵波在棒中的相速度是

(5)

式中ξ是质点沿棒轴方向的位移。若考虑泊松效应引起的横向位移，则相速度为

(6)

式中a是圆棒截面的半径，λ是纵波波长，可见与波动的频率有关，即考虑纵波在棒中传播因泊松效应引起的横向位移时，棒是一个频散系统。

若在A端平面上加一与面平行的力的扰动，则引起的形变将以弯曲波的形式传向B端，如图2b所示。可以看出在弯曲波传播的过程中，棒的一些部分被压缩，另外一些部分被拉伸。因此，棒中弯曲波仍将与d性模量E 有关。除棒的截面有上下的运动外还有转动。弯曲波的波动方程为

(7)

式中y表示棒中质点沿与棒轴垂直方向的位移，k是棒横截面的回转半径。弯曲波传播速度为

(8)

式中f为频率。式(8)指出弯曲波传播速度与频率有关。即细棒对弯曲波是一个频散系统。

图2c所示是一段截面为圆的棒，如在A端加扭力使A面中直径dd┡转动θ角，然后松开扭力，扭力在棒内引起的切形变将以扭波的形式，向B端传播，棒中各个截面将以棒的轴心为轴做旋转摆动，如图2c中的a、b、с、…等截面。

扭波的波动方程为

(9)

式中θ为角位移，单位为弧度(rad)。扭波在棒中传播的速度与横波在无限固体中传播的速度相同，即

(10)

简称板波。因引起板波的扰动或原因不同，板波的类型也不同。由于受板面的限制和与板面接触的媒质的影响，板波的传播与波在各向同性无限固体中传播的情况不同。

在真空或空气中的各向同性而长宽无限的平板，可以认为板面为不受限制的自由面，当板厚τ与板中波动波长λ 之比大于1时，一般板波可有四种类型，即瑞利波或叫表面波（见声表面波）、弯曲波、纵波和横波。表面波的相速度为

(11)

式中k 为一与板材料泊松比有关的常数，其值在0.87到0.96之间。但当板厚τ 与波长λ 之比小于1时，表面波不复存在，这时只剩下纵波、横波和弯曲波，如图3所示。图3a中的AB和CD表示板的上下面，M N表示板的中心面，可以看出当纵波在板中传播时，只有中心面上的质点做简单的纵振动，其他地方的质点因泊松效应，除纵振动外还有横振动。纵波传播时的相速度为

(12)

式中сpl是板中纵波的相速度。图3b表示板中横波质点振动的情况。质点振动方向与板面平行时的横波也叫兰姆波，它的相速度与横波在无限固体中横波的相速度相同，即

(13)

图3c表示板中弯曲波传播的情况，它的相速度为

。 (14)

板中弯曲波的相速度сpf与频率f 有关，故而板对弯曲波也是一个频散系统。

板中纵波和弯曲波又分别叫做对称和非对称兰姆波。

参考书目

1. 马大猷、沈同编著：《声学手册》，科学出版社，北京，1983。
2. R.W.B. Stephens and A. E. Bate， Acoustics and Vibrational Physics，2nd ed.， Arnold，London，1966.
3. L.E.Kinsler，et αl.， Fundamentals of Acoustics，3rd ed.， John Wiley & Sons， New York， 1982.
4. H.F.Pollard，Sound Waves in Solids，Pion， London，1977.