关于谱综合介绍

[拼音]：puzonghe

[外文]：spectral synthesis

又称调和综合，是一个与谱分析(或称调和分析)相对立的概念，它是调和分析与代数的理想理论中一个具有非常综合性的研究课题。

谱分析与谱综合的原始含义如下：设ƒ(x)是一个周期振动的量，它可用圆周群T上的函数来描述，实验指出这样的振动往往由一个基频及其整数倍频的简谐振动叠加而成，定出ƒ的简谐振动分量的过程称为谱分析。熟知的傅里叶展开便是这一过程，ƒ的傅里叶系数不为0的点集称为ƒ的谱集。相反的过程是由ƒ的分量复合出ƒ自己，这个过程就叫谱综合。对ƒ∈lp(T)，1≤p≤∞，各种各样的傅里叶级数求和法便实现了谱综合。因此从其原始含义说来，谱综合与谱分析都不是很复杂的概念。但现在所谓的谱综合已经演变成一个既概括又抽象，并且很有发展前途的研究课题。

通常所说的谱综合是研究局部紧交换群G上，l∞(G)中哪些元素可以由它的谱经过某种方法“综合”出来；或者等价地说是指研究l1(G)的哪些闭理想能被G的对偶群弿中的一个闭子集完全决定。

这里l∞(G)不是指所有本性有界函数的集合赋极大模的空间，而是同一集合赋弱*拓扑的空间。先对g∈l∞定义谱集的概念。粗略而言，g的谱集就是抭（表示傅里叶变换）的支集。更确切一些的定义是：设F是l∞(G)的闭平移不变子空间，既然弿是由G上有界函数构成的，则弿 ∩F有意义，记它为∑(F)，并称之为F的谱集。对任意g∈l∞(G)，记[g]为由g生成的闭平移不变子空间，简记∑([g])为∑(g)，并称它为g的谱集。如果g能被∑(g)中的元素的线性组合逼近，则每个h∈[g]亦然。这时，集合∑(g)(它是弿 中一个闭集)完全决定了l∞(G)中的闭平移不变子空间[g]。所谓l∞(G)的谱综合便是研究l∞(G)的哪些闭平移不变子空间可被弿的一个闭集完全决定。它的一个特殊情形是研究怎样的g∈l∞(G)能被∑(g)中元素的线性组合逼近。可以证明如果l∞(G)中g的傅里叶变换是函数或测度，则上面定义的谱集∑(g)就是g的傅里叶变换的支集。这种情况下，谱集与谱综合概念就回到了它们的原始理解。

设 I是l1(G)的任意一个闭理想，令

(1)

l1(G)的谱综合便是研究怎样的 I可以由Z(I)(它是弿中一个闭集)完全决定。或者等价地说，是研究弿的哪些闭集E是惟一闭理想I的Z(I)。注意，任意闭集E嶅弿总至少是一个闭理想的傅里叶变换的公共零点集。例如

便是一个以E为傅里叶变换的公共零点集的闭理想(即等式E=Z(I(E))恒成立)。同时，在E的一个邻域上为0}-(“-”表示闭包)也是以 E为傅里叶变换的公共零点集的闭理想，并且I(E)是最大的，I0(E)是最小的。l1(G)的谱综合也可以说是研究对怎样的E有I(E)＝I0(E)。满足这个性质的E称为谱综合集。如果所有闭集E嶅弿 都是谱综合集，则称l1(G)的谱综合成立。

可以证明对任意闭集E嶅弿，存在惟一闭理想I嶅l1(G)使Z(I)=E，当且仅当存在惟一闭平移不变子空间F嶅l∞(G)使∑(F)=E。这就是说，l∞(G)与l1(G)的谱综合是等价的。

对所有紧群G，谱综合是成立的。但对非紧群G，情况要复杂得多。40年代末期，L.施瓦尔茨第一个举例说明l1(R 3)的谱综合不成立，他指出R 3中单位球面不是谱综合集。约10年后，P.马利阿温一般地证明了l1(G)的谱综合当G非紧时是不成立的。

C.H.赫茨举出了Rn中谱综合集的许多例子，V.A.迪特金给出了弿 中闭集是谱综合集的充分条件。作为这个充分条件的推论，得知l1(G)中除了自己以外不可能有别的闭理想使其傅里叶变换无公共零点(概括而言此即"空集是谱综合集")。值得提出的是，这个推论包含了著名的 N.维纳的陶伯定理：如果φ ∈l∞(G)，ƒ∈l1(G)满足弮(t)≠0，对一切任意t∈弿，并且

， (2)

则对一切任意g∈l1(G)，当用g代替ƒ时，式(2)仍成立。此外，沿着l∞(G)的谱综合方向，A.博灵有一系列的工作。例如，他指出对非零的g∈l∞(G)，∑(g)是非空的。这正是“空集是谱综合集”的另一种说法。

谱综合还有一个常见的等价提法是用拟测度的语言。l∞(G)的傅里叶变换的集合记为PM(弿)，其中的元素就称为弿上的拟测度。l1(G)的傅里叶变换的集合A(弿 )是一个巴拿赫代数，作为一个巴拿赫空间，其对偶空间正是由PM(弿)的元素构成的。因此可以在PM(弿)中赋弱*拓扑。谱综合的另一种提法就是研究怎样的S∈PM(弿)可以被由S的支集中的点支撑的点测度的线合组合弱*逼近。这种提法实际上是使用傅里叶变换将l∞(G)的谱综合的提法的改装。类似地，也可用傅里叶变换概念将l1(G)的谱综合提法改装。l1(G)的谱综合提法还可推广到对任意正则交换巴拿赫代数 A。对这样的A的谱综合是研究A的怎样的闭理想I可以被A的极大理想空间X的一个闭集完全决定；这等价于说，怎样的I可以表为正规极大理想的交（式(1)最右边的表示便是正规极大理想的交）；也等价于说，怎样的I使得

I=ker(hull(I))；

也等价于说X的怎样的闭集是A的惟一理想的盖尔范德变换的公共零点集。

参考书目

1. C.C.Graham and O.C.McGehee，Essays in Commuta-tive harmonic Analysis，Springer-Verlag，New York， 1979.
2. E.Hewitt and K.R.Ross，Abstract harmonic ɑnalysis，Vol.1～2，Springer-Verlag，Berlin，1963， 1970.