关于外尔斯特拉斯-斯通定理介绍

关于外尔斯特拉斯-斯通定理介绍,第1张

关于外尔斯特拉斯-斯通定理介绍

[拼音]:Wai’ersitelasi-Sitong dingli

[外文]:Weierstrass-Stone theorem

函数逼近论中的基本定理。外尔斯特拉斯定理是关于实变函数逼近的定理,它本身包含两个结论:外尔斯特拉斯第一定理和外尔斯特拉斯第二定理。它们是相互独立的,但又有联系,都是1885年由K.外尔斯特拉斯所得到的。斯通定理是外尔斯特拉斯定理在抽象空间中的推广。这个定理还可以推广到用抽象元素的线性组合及其乘积来实现逼近。由斯通定理可以得到很多具体的逼近定理。

外尔斯特拉斯第一定理 对于任意一个在闭区间[αb)]上的连续函数ƒ(x),存在多项式序列{pn(x)},它在[αb)]上一致收敛到ƒ(x)。

外尔斯特拉斯第二定理 对于任意一个在实轴上以2π为周期的连续函数g(x),存在三角多项式序列{Tn(x)},它在实轴上一致收敛到g(x)。

这两个定理中的多项式序列 {pn(x)}和三角多项式序列{Tn(x)}都是可以直接构造出来的。这样一来,较为复杂的函数(如连续函数)就可以在所讨论的区间上用较为简单的函数(如多项式或三角多项式)近似地表达出来了,这在实用上就提供了很大的方便。进一步还可以研究多项式序列{pn(x)}(或三角多项式序列{Tn(x)})趋向于ƒ(x)(或g(x))的速度,这就是最佳逼近值的阶的估计。人们还研究其他函数系(如有理函数、广义多项式、分段多项式等)的逼近问题。这些结果在Lp空间中也成立,其中0<p<+∞。

斯通定理 1937年,斯通在抽象空间中研究了逼近定理。设A是某个度量空间中的集合,它至少含有两个不同的元素,且成立有限覆盖定理(或是紧的豪斯多夫拓扑空间)。设GA上的连续函数集合,它构成线性空间且是环。此外,G还具有性质:对于A中任意两个不同的元素x1,x2,在G中存在函数p(x),使p(x1)≠p(x2),则对于A上的任意连续函数ƒ(x),在G中存在函数序列{Qn(x)},它在A上一致收敛到ƒ(x)。

由斯通定理,可以推出多维空间中的外尔斯特拉斯定理,以及在实轴上用有理函数来逼近在实轴上连续且存在的函数ƒ(x)的定理等。

这些定理在复平面上还有各种推广。

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