关于堆垒数论介绍

[拼音]：duilei shulun

[外文]：additive theory of number

又称加性数论，是关于所谓加性问题的一个数论分支。它主要研究如下类型的问题及其变形:设N是全体非负整数集合;A1，A2，…，As是N 的有限个或可数个子集合。试判定对N中的每一n，方程是否可解或其解数r(n)，其中αj∈Aj(1≤j ≤凣)。这类问题与整数集合的加法性质有关。例如，著名的多角数问题。设整数m≥3，由递推公式所确定的数(n=0，1，2，…)，称为m角数。这类数统称为多角数。易证，显然四角数就是平方数。1636年，P.de费马猜测：每个自然数都是 m个m角数之和。J-L.拉格朗日于1770年和A.-M.勒让德于1798年分别证明了m＝4和m＝3时猜测是成立的。1813年，A.-L.柯西证明了这个猜测。

L.欧拉在研究整数分拆时，注意到由于，所以r(n)的母函数，基于这一点，他提出了母函数法。它是堆垒数论的一个重要研究方法。堆垒数论与模形式论有密切关系。在研究哥德巴赫猜想和华林问题中，近代堆垒数论自20世纪20年代开始发展起来，主要的研究方法有圆法、指数和方法、筛法和密率。

堆垒数论中有以下几个著名问题。

求不定方程的整数解的个数rs(n)，其中s是给定的正整数。例如，r2(3)=0， r2(5)=8，r2(9)=4。平方和问题与模形式有密切关系，rs(n)的母函数。当s≤24时，rs(n)的表达式均已得到。例如，1829年，C.G.J.雅可比证明 1919年，G.H.哈代、J.E.李特尔伍德和S.A.拉马努金利用圆法得到了当s≥5时rs(n)的渐近公式。H.D.克洛斯特曼于1926年和T.埃斯特曼于1962年讨论了形如的平方和问题。

C.哥德巴赫和L.欧拉1742年的数次通信中提出的猜测：

（1）每个大于 4的偶数是两个奇素数之和。如6=3+3，14=3+11=7+7=11+3；

（2）每个大于7的奇数是三个奇素数之和。如9=3+3+3，15=3+5+7=3+7+5=…=7+5+3=5+5+5。由于2n+1=(2n-2)+3，所以从①成立可推出②成立。1923年，哈代和李特伍德应用圆法研究这两个猜测，得到了一些重要的条件结果。在此基础上，И.М.维诺格拉多夫于1937年通过改进圆法和利用他的估计线性素变数指数和方法，证明了每个充分大的奇数n是三个奇素数之和，且其表法个数。基本上解决了猜想。

（2）这一结果通常称为哥德巴赫－维诺格拉多夫定理或三素数定理。利用他的思想，华罗庚等五位数学家于1937～1938年间各自独立证明了：几乎所有的偶数是两个奇素数之和。1980年，已验证对所有不超过108的偶数，猜想①是成立的，但是猜想①至今仍未解决，类似猜想②的结果也没有得到。于是转而研究较弱的命题{r，s}：每个充分大的偶数是不超过r个素因数的乘积与不超过s个素因数的乘积之和。猜想①大体上就是命题{1，1}。筛法是研究命题{r，s}的主要方法。V.布龙用他所提出的方法即所谓布龙筛法，于1920年首先证明了命题{9，9}。1950年前后，A.赛尔伯格提出了一种筛法，并宣称利用他的方法可以证明命题{2，3}。1957年，王元利用赛尔伯格筛法首先证明了命题{2，3}。1948年，利用布龙筛法与林尼克筛法，A.雷尼证明了命题{1，s}，这里的 s是一个未计算出的大常数。通过对筛法和大筛法的不断改进，1962年，潘承洞首先得出 s=5；1966年，陈景润得出s=2是迄今最好的结果，通常称之为陈景润定理。

1770年，E.华林推测:每个正整数是4个平方数之和、9个立方数之和、19个4次方数之和等等。其意是他认为：对任意给定的整数k≥2，必有一正整数s(k) 存在，使得每个正整数必是 s(k)个非负的 k次方数之和，即不定方程(*)对所有整数n≥0有非负整数解xj（1≤j ≤s）。1909年，D.希尔伯特用复杂的方法证明了s(k)的存在性，首先解决了华林的这一猜想。其后，ю.Β. 林尼克利用密率于1943年给出了s(k)存在性的另一证明。华林还猜测s(k)的最小值。1770年拉格朗日证明了g(2)=4;1909年A.威弗里奇证明了g(3)=9。易证g(k)≥2k+。设g(k)是使方程(*)对充分大的 n可解的s(k)的最小值。利用g(k)的上界估计，可进一步证明如下结果：

（1）当k≥6，有条件时，则。1964年R.M.斯泰姆勒尔验证了此条件在6≤k≤200000时成立。1957年K.马勒尔证明当 k充分大时此条件一定成立，并猜测对所有k≥6这条件都成立。

（2）1964年陈景润证明了g(5)=37，1985年R.巴拉萨布雷尼安和 F.德雷斯证明了g(4)=19。至此，关于g(k)的研究已基本完成了。

1920～1928年，哈代和李特尔伍德利用圆法研究华林问题。易证方程(*)的解数

。

他们把区间[0，1]分为K1和K2两部分，其分法与n有关。于是，。他们想要证明(**)：对于满足一定条件的s、k，当n→时有。但却只证明了当s≥2k+1时，

，

式中 （n）为某一奇异级数。1957年，华罗庚证明了当 s≥k+1时成立， 这是最佳的结果。1938年，华罗庚结合指数和估计方法，证明了（**）式当 s≥2k+1时成立。1947年华罗庚和И.М.维诺格拉多夫证明了当k>10，s≥2k2(2ln k+lnk+2.5)时(**)式成立。由于哈代和李特尔伍德的工作，引向讨论g(k)：使方程(*)对充分大的n可解的p（k）的最小值。这比讨论g(k)更有意义。他们猜测：当k=2m≥4时g(k)=4k；在其他情形，g(k)≤2k+1。易证:当k=2m≥4时，g(k)≥4k;在其他情形，g(k)≥k+1。 由上述的 rKs(n)的渐近公式，当然可相应得到g(k)的上界估计。通过进一步的讨论可证明更好的结果：g(k)≤k(3lnk+5.2)。1959年维诺格拉多夫将结果改进为当 k≥170000时，g(k)≤k(2lnk+4lnlnk+2lnlnlnk+13)。关于小的k 值，1939年H.达文波特证明了g(4)=16，1942年林尼克证明了g(3)≤7。后来，对g(k)的估值又得到了一些改进。

华林问题可以作各种推广。例如：

（1）华林-哥德巴赫问题，即把方程(*)中的变数xj限制为素数。华罗庚和维诺格拉多夫有重要贡献。

（2）多项式华林问题，把方程(*)中的项x忋以ƒ(xj)代替，这里ƒ(x)是整值多项式；或更一般地以ƒj(xj)代替，这里ƒj(x)均是整值多项式。例如，取ƒ(x)=x+(m-2)(x2-x)/2，即为多角数问题。关于多项式华林问题有许多研究，华罗庚有重要贡献。

（3）代数数域上的华林问题，甚至可以讨论任意域上的华林问题。在这方面，C.L.西格尔有重要贡献。

或称等幂和问题，即对给定的整数 k≥2，求出使不定方程组 (1≤h≤k)有非显然解（即y1，y2，…，ys不是x1，x2，…，xs的重新排列）的最小整数s=N（k）。易证。1935年E.M.赖特证明了：当2喣k时，；当2｜k时，4)。设M（k）是上述不定方程在条件下有解的最小整数s，rk(P)表此时满足1≤xj，yj≤P的解数。1938年华罗庚证明了，并于1952年得到了rk(P)的渐近公式。

参考书目

1. 华罗庚著:《指数和的估计及其在数论中的应用》，科学出版社，北京，1963。
2. 潘承洞、潘承彪著：《哥德巴赫猜想》，科学出版社，北京，1981。
3. R.C.Vaughan，The hardy-Littlewood Method，Cambridge Univ. Press， Cambridge， 1981.
4. Wang Yuan， ed.，Goldbach Conjecture， World Scientific，Singapore， 1984.