关于有限元方法介绍

[拼音]：youxianyuan fangfa

[外文]：finite element method

求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。

作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数，J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V，即一切可能的物理状态，则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为“单元”，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为“有限元空间”，它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。

为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程

， (1)

变系数 β表示介质不均匀。物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。与方程(1)相配的有如下三类边界条件：

第一类：；

第二类：；

第三类：。这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当 α=0时的特例。

为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断，即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件

， (2)

， (3)

β（x，y)有间断线，把Ω分为Ω-，Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件

， (4)

及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。

与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。构造“能量积分”

并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数，则使J(v)达到极小值的u，即

， (6)

也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事实上，极小能量原理之类的变分原理是物理问题的原始形式，微分方程是数学推导的结果。在变分问题中，只有边界条件(2)是强加到容许函数集上的，边界条件(3)及间断介质的接触条件(4)都是极小解u自然满足的，这种情况有利于离散化的统一处理。

几何剖分的基本单元可取为三角形、矩形、四边形、曲边形等等，其中三角形最基本常用。

假定问题的求解区域为多边形，介质间断线为折线，作三角剖分如图

所示。在剖分中需注意介质间断线与某些三角形的边重合，不同类边界条件的交点与某些三角形的顶点重合。单元的顶点称为网格结点，在дΩ上称边界结点，在Ω内称内结点。

几何剖分之后考虑插值逼近。对三角形单元最简单的是线性插值，即利用每个单元Δk三顶点的函数值确定线性函数αkx+bky+сk的三个系数。 把所有单元{Δk}确定的{αkx+bky+сk}合在一起，就得到Ω上的一个分片线性插值函数。Г0上的边界结点取值为零的分片线性插值函数都属于问题(5)、(6)的容许函数集V，全体这样的函数构成一个有限维线性空间，称为有限元空间。假定内结点和Г1上的边界结点共有N个，以pj(j=1，…，N)表示，则的维数就是No 令φi表示中满足条件

(7)

的成员，则{φi}构成线性空间的一组基。中任意函数v，都可表为

， (8)

Vj是结点pj上的函数值v(pj)。

单元上的插值方式除了用一次函数外，还可以用二次、三次或更高次的多项式，也可用非多项式函数。插值数据除了用函数值的拉格朗日型外，还可以是包括导数的埃尔米特型插值。种种的几何剖分加上种种的插值方式，就产生众多形式的有限元空间，使有限元方法可有众多的选择。

有限元离散化的出发点是与微分方程等价的变分问题。对于典型问题来说，就是从(5)、(6)出发，用剖分逼近的方法构造有限元空间（也称试探函数空间），然后求泛函J(v)在中的极小解堚 作为近似解，即堚满足

， (9)

把(8)的表达公式代入(5)中的J(v)，得

， (10)

式中

， (11)

， (12)

把(9)的极小解表为，则(U1，U2，…，UN)使二次函数(10)达到极小，由微分学知满足线性方程组

。 (13)

方程组(13)来自正定二次函数的极小解问题，故系数矩阵一定对称正定。由于基函数φi只在以pi为顶点的单元上不为零，故系数αij=只当结点pi与pj连成三角形一边时才不为零。系数矩阵这种稀疏性质，加上对称正定，对方程的求解很有利。

系数以及自由项的实际计算，通常按所谓单元分析与总体合成的方式进行。即逐个分析Ω内的单元和Г1上的单元边对有关的 αiz及ƒi的贡献，然后往上迭加。当Ω内所有单元及Г1上所有单元边都分析之后，方程组(13)的系数矩阵及自由项也就合成出来。间断介质的影响反映在单元分析中被积函数的β在Ω+及Ω-取不同的表达式。单元分析通常都采用某种数值积分公式计算。

微分方程边值问题 (1)、(2)、(3)、(4)的解u还同时满足:对容许函数集V中任一函数v，成立

， (14)

这里α(u，v)及F(v)即表达式(11)、(12)。在物理学中，方程（14）是另一变分原理的数学形式，称为虚功原理或虚位移原理。有限元方法更一般的形式是从虚功方程(14)出发用剖分插值的方式构造一个试探函数空间，并同时构造一个检验函数空间徰;在中寻找近似解堚，使之对徰中的任一函数ψ，成立

， (15)

当选取徰与相同时， (15)中的ψ可选为基函数φi，同时用代入，就得到方程组(13)。

对于非自共轭椭圆算子L，微分方程边值问题Lu=ƒ不存在等价的极小值问题，但这时仍可建立虚功方程(14)，其中α(u，v)=(Lu，v)F)=(ƒ，v)，(·，·)表示L2(Ω)的内积。因此，有限元方法仍然有效。

从极小能量原理出发进行离散化又常称为里茨法，从虚功原理出发称为加廖金法。后者是前者的推广。

传统的里茨－加廖金方法，采取解析函数作为试探函数，不能满足任意多边形区域的边界条件，也不适应间断介质的要求，对现在的典型例子无能为力。差分方法虽然能够对付，但由于它对方程(1)及条件(2)、(3)、(4)在处理上不统一，在计算效果及理论分析两方面都带来不利。有限元方法正好对这两者扬长避短，一方面保持了里茨－加廖金方法从变分原理出发的优点，在提法上有极大的概括性，给离散化带来统一处理的方便；另一方面又吸收了差分法剖分逼近的优点，能灵活适应各种几何形状和间断介质等复杂情况。有限元方法除了解题效能高强外，还有牢靠的理论基础，是计算数学理论一大成就。

有限元方法在中国与西方从不同的实践背景，沿着不同的学术道路、各自独立平行地发展起来。在西方，有限元思想在R.库朗1943年的一篇论文中明确地提出过，但一直没有受到重视。20世纪50年代中期，欧美工程界J.H.阿吉里斯、R.W.克拉夫等以航空工程为背景，在结构分析和矩阵方法基础上提出了结构有限元的雏形。60年代初期，引进连续体的单元剖分；60年代中期，逐渐明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想。1968年，西方数学家对有限元法进行数学的理论分析，开始了有限元法在计算数学中的黄金时代。

在中国，60年代初期，冯康、黄鸿慈等结合解决一系列大型水坝建设的应力分析问题，开展了椭圆型边值问题数值解的系统研究，为克服问题传统提法中的几何复杂性和材料复杂性，把能量法与差分法结合在一起，于1964年建立了求解椭圆型边值问题一套普遍有效的方法，命名为基于变分原理的差分方法，即通称的有限元方法。与此同时，建立了方法的数学理论基础。而后20年中，周天孝、唐立民对混合元拟协调元的发展，应隆安等对无限元的发展，冯康等对边界有限元的发展，石钟慈对非协调元的发展，林群对有限元外推理论的发展，都作了重要贡献。

有限元方法对于定常态问题的计算已经获得公认的巨大成功，对不定常态问题也有良好开展。有限元方法是一个发展着的体系，在前述的基本原则下可有种种变化和发展，特别是可和其他方法结合起来，进一步解决更困难更复杂的数学问题。

参考书目

1. 冯康、石钟慈著：《d性结构的数学理论》，科学出版社，北京，1981。
2. G.斯特朗、G.J.菲克斯同著，崔俊芝、宫著铭译:《有限元分析》，科学出版社，北京，1983。(G.Strang and G.J.Fix，An Analysis of the Finite Element Method， Prentice-Hall， Englewood Cliffs， New Jersey， 1973.)
3. P.G.Ciarlet，The Finite Element Method for Elliptic Problems， North-Holland， Amsterdam， 1978.
4. O.C.Zienkiewicz，The Finite Element Method，3rded.，McGraw-Hill， London， 1977.