关于三体问题介绍

[拼音]：santi wenti

[外文]：three-body problem

三个天体(质点)在万有引力作用下的运动问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。三体问题是一个古老而至今尚未完全解决的天体力学难题，到现在已有近三百年的历史，很多著名的数学家和力学家都作过研究，有关文献已超过千篇。由于没有得到三体问题的严格解，在研究具体天体运动时，都是根据实际情况求出各种近似解。在求解过程中提出研究三体问题的各种方法，从而推动三体问题理论的发展。

设三个天体的质量为m1、m2、m3，它们的位置共有九个坐标，运动方程为九个二阶微分方程，共十八阶。很早以前，就得到了三体问题的十个首次积分，即三个动量积分、三个质心运动积分、三个动量矩积分（又称三个面积积分）和一个能量积分。由于三体问题中三个质点组成一个保守的力学系统，不受任何外力的作用，所以这些积分就是力学中动量守恒定理、质量中心运动定理、动量矩守恒定理和能量（机械能）守恒定律的体现。这十个首次积分都是变量（坐标及速度）和时间的代数函数，故称代数积分，又称经典积分。

利用十个经典积分以及消去自变量和交点经度的方法，可以把三体问题的十八阶微分方程组降低到六阶，这个工作是拉格朗日在1772年完成的。1843年，雅可比证明，对N体问题，如果除两个积分外都已找出，则这两个积分也就随之可以找出。二体问题为十二阶的方程，已知十个积分，还差两个，正好符合雅可比的条件，可以完全解出；而对三体问题，则还差八个积分，寻找新积分便成为解决三体问题的重要途径（见三体问题的积分）。

运动方程暂时还无法积分，所以在研究具体问题时，往往根据太阳系天体运动的特点（太阳的质量比行星大得多），以二体问题为基础，讨论第三体对二体问题轨道的影响，从而建立带有小参数形式的三体问题运动方程。在讨论太阳和两个行星相互吸引的三体问题时，行星的质量m和m′就是小参数。以行星轨道要素（记为pi、qi）为变量的运动方程的解的形式为：

，

，

庞加莱证明：若在时间t=0，两个行星的轨道曲线不相交，则对于一定的m、m′值，存在一正值t0;当0<t<t0时，p、q按m、m ′的乘幂展开式是收敛的。这个t0值将随m、m ′的大小而定，m、m ′越小，则 t0越大。级数的系数为近点角的三角级数。

除了用三角级数来积分三体问题的方程外，直接用幂级数来求积分是另一个重要途径。要想得到三体问题的幂级数解，并且对时间t的任何值都收敛，则必然碰到一个困难：由于运动方程的右端函数的分母中含有三个天体之间的距离，当二体或三体碰撞时，就不再是正则函数。1912年，松德曼成功地克服了这一困难，他找到了一个正规化变量来代替时间t，而在三个面积积分常数不全为零的条件下，三个天体的坐标、相互距离以及时间都可展开为一个辅助变量的幂级数，它们对时间t的所有实数值都收敛。作为一个数学问题，在只考虑二体碰撞的情况下，可以得到三体问题的幂级数解。但是它收敛得非常慢，以致没有实用价值。贝洛里兹基将松德曼的结果应用于已知的拉格朗日等边三角形解（见平面圆型限制性三体问题），为了使t=1的计算值达到0.1的精度，级数至少要取1080000项！松德曼的结果虽然只是定性结论，但在理论上证明了三体问题幂级数解的存在性，还是有很大价值的。

既然很难得到一般三体问题的解，不少人根据太阳系的实际情况，研究一种特殊的三体问题，并寻找它的特解。例如，讨论小行星或彗星在太阳和某个大行星吸引下的运动时，可以把小行星或彗星的质量看成无限小，从力学观点来说，就是忽略了小天体对太阳和大行星的吸引，这就构成了一个特殊的三体问题，它只讨论小天体在太阳和某个大行星吸引下的运动规律。这种三体问题称为限制性三体问题。

在研究限制性三体问题时，采用特殊的旋转坐标系，可以得到著名的雅可比积分、希尔曲面(即零速度面)和拉格朗日特解。这些结果对于研究小行星的运动特征、双星的运动、俘获理论以及月球火箭运动理论中都有重要的意义。由于限制性三体问题比一般三体问题简单，往往可以得到某些结果，然后再把这些结果推广到一般情况。例如，拉格朗日特解就是首先从圆型限制性三体问题得到的，后来再推广到一般三体问题；庞加莱关于三体问题不存在新的单值解析积分的证明，也是首先从平面圆型限制性三体问题进行探讨的。所以，研究特殊的三体问题和寻找它的特解，可为解决一般三体问题提供一些线索和方法。

庞加莱提出的周期解理论是研究三体问题的一条重要途径。他提出三类周期解：当两行星相互间轨道的倾角为零、偏心率都很小时，称为第一类周期解；当两行星相互间的轨道倾角为零、而偏心率为有限值时，称为第二类周期解；当两行星相互间的轨道倾角不为零，偏心率为有限值时，称为第三类周期解。在第二类和第三类中还设两行星的平均运动角速度之比为简单分数，即可以通约的。对于第一类、第二类周期解，只要方程右端函数满足一些条件，周期解是存在的；第三类周期解尚未经过很好的研究。

它不借助于具体的求解方法，而是采用定性理论来研究长时间内三体问题的运动特性、轨道在运动方程奇点附近的性质以及三体问题的运动全局性质（见天体力学定性理论）。

用天体力学数值方法对运动微分方程直接积分是一条新的途径。早在十八世纪，就用数值方法研究过彗星的运动。到十九世纪，由于研究小行星运动，数值方法得到一定发展，只是由于计算工具落后，而未引起普遍重视。二十世纪五十年代以来，现代高速电子计算机的发展和广泛应用，为天体力学数值方法的发展提供了条件，一般具体的三体问题都用数值方法解决。

综上所述，研究三体问题的方法可分为三类，即分析方法、定性方法和数值方法。分析方法是把天体的坐标或轨道要素表示为时间的函数，而且展开成级数形式的近似分析表达式，这样可以比较方便地讨论天体的运动规律，但是由于级数收敛性的限制，往往只能适用于较短的时间间隔；定性方法是从运动方程出发来研究天体运动的全局特性，但它不便于实际应用；数值方法则是直接算出天体在某些时刻的具体位置，这对实际工作来说是有效的，但难以探求天体运动变化的规律。鉴于三类方法各有长处和不足之处，实际上往往同时采用几种方法来研究三体问题。

参考书目

1. D.Brouwer and G.M.Clemence， Methods of Celestial Mechanics，Academic Press，New York，1961.