关于超越数论介绍

[拼音]：chaoyue shulun

[外文]：transcendental number theory

以超越数为研究对象的数论分支之一。全体复数可分为两大类：代数数和超越数。如一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数数。不是代数数的复数，叫做超越数。J.刘维尔开创了对超越数的研究，他发现无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数，例如对g=2，3，…都是超越数。早在1844年以前的一个世纪里，对无理数的研究已成为一个注意焦点。1744年，L.欧拉证明了自然对数的底e是无理数。1761年，J.H.朗伯证明了圆周率π是无理数。

1873年，C.埃尔米特证明了e是超越数，从而使超越数论进入一个新阶段。1882年，F.von林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了π 是超越数，从而解决了古希腊的“化圆为方”问题。

19世纪超越数论的最高成就，是林德曼-外尔施特拉斯定理:如果α1，α2，…，αn是两两不同的代数数，β1，β2，…，βn是非零代数数，则

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由此可以导出，如果α1，α2，…，αn在无理数域Q上线性无关，则代数无关（即它们不适合任一其系数为有理数的多项式方程）。由(1)可知，如α是非零代数数，则sinα，cosα，tanα都是超越数；如α是不等于0和1的代数数，则自然对数lnα是超越数。

1900年，D.希尔伯特提出的23个问题中的第7问题是：如果α是不等于0和1的代数数，β是无理代数数，那么αβ是否超越数？D.希尔伯特曾预言，这个问题的解决将迟于黎曼猜想和费马大定理。A.O.盖尔丰德于1929年证明了：若α是不等于零和1的代数数，β是二次复代数数，则αβ是超越数，特别地，是超越数。P.O.库兹明于1930年把这个结果推广到β是二次实代数数的情形，特别地，是超越数。1934年，A.O.盖尔丰德和T.施奈德独立地对希尔伯特第7问题作出了肯定回答，此即所谓盖尔丰德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理数，则常用对数lgα不是有理数，便是超越数；更一般地，对非零代数数α1，α2，β1，β2，若lnα1，lnα2在Q上线性无关，则

1966年A.贝克把这个结果推广到任意多个对数的情形，证明了下述重要结果:若α1，α2，…，αn是非零代数数，且lnα1，…，lnαn在Q上线性无关，则1，lnα1，…，lnαn在所有代数数所成的域坴上线性无关。其推论有：

（1）若代数数的对数线性组合（其系数为代数数）不等于零，则必为超越数。

（2）若α1，α2，…，αn，β0，β1，…，βn是非零代数数，则是超越数。

（3）若 α1，α2，…，αn是不为0和1的代数数，β1，β2，…，βn是代数数，且1，β1，β2，…，βn在Q上线性无关，则是超越数。A.贝克的理论还有定量形式，对数论许多分支有着重要应用。例如，第一次对几类很广的不定方程给出解的绝对值的有效上界，以及用以定出所有类数为 1和 2的虚二次域。前者是对于希尔伯特第10问题的肯定方面的实质性的贡献。1970年A.贝克获费尔兹奖。

代数数的有理逼近是超越数论的重要课题（见丢番图逼近）。由林德曼－外尔施特拉斯定理发展而成的西格尔-希德洛夫斯基理论，对于证明一类适合线性微分方程组的幂级数的值的代数无关性，建立了一般的方法。例如，令

若λ是异于负整数和的有理数，则对于任何非零代数数α，Kλ(α)和K懁(α)代数无关。

超越数的测度理论是超越数论的又一个重要内容。1874年，G.康托尔引进了可数性的概念，而导致了“几乎所有”的实数（复数）都是超越数的结论。1965年，Β.Γ.普林茹克证明了K.马勒尔在1932年提出的猜想：对于几乎所有的实数θ、任意的正整数n 和正数ε，至多有有限多个n次整系数多项式p(x)，使得其中h是p(x)的诸系数的绝对值的最大值。

超越数论的最新发展使用着来自交换代数、代数几何、多复变函数论、甚至上同调理论的方法，正处于活跃之时。许多著名问题，例如，沙鲁尔猜测：若复数ζ1，…，ζn在Q上线性无关，则由在Q上生成的域的超越次数至少为n，及其特例关于e和π的代数无关性（甚或看来似乎容易得多的e＋π的超越性），以及欧拉常数 的超越性的猜测，至今都未解决。

参考书目

1. 华罗庚著：《数论导引》，科学出版社，北京，1957。
2. A.Baker，Transcendental Number Theory， Cambridge Univ. Press， 1975.
3. A.Baker and D.W.Masser， ed.，Transcendence Theory:Advances and Applications， Academic Press， New York，1977.