关于丢番图逼近介绍

[拼音]：Diufantu bijin

[外文]：Diophantine approximation

数论的一个分支，以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。

1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数，Q是大于1的实数，那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数，那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。当α是有理数时，上式不成立。

1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出，对于某些无理数，常数是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对，由级数是发散的还是收敛的而定，这里 ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数 α和任意的δ>0，不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。

丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数pn/qn，满足不等式

1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/qd。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。以后一些数学家不断改进指数μ 的值，直到得出μ 与 d无关的结果。1909年，A.图埃得到μ >1+d/2。1921年，C.L.西格尔得到。1947年至1948年间，F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了。1955年，K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论：如果α是实代数数，其次数 d≥2，那么对于任意的δ>0，不等式只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。

对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果α1，…，αn是n个实数，Q>1是整数，那么存在一组整数q，p1，…，pn满足不等式组

进而，如果α1，…，αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q，…，pn/q)，适合不等式组

关于实代数数的联立有理逼近，直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果α1，…，αn是实代数数，并且1，α1，…，αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数q使得成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数α1，…，αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1，…，qn适合

。

由此可知，联立不等式

只有有限多组解(p1/q，…，pn/q)，以及不等式只有有限多组整数解p，q1，…，qn。

用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。

自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。

参考书目

1. J. W. S.Cassels，An Introduction to Diophantine ApproxiMation， Cambridge Univ. Press， Cambridge， 1957.