关于卢津问题介绍

[拼音]：Lujin wenti

[外文]：Luzin problem

又称卢津猜想，傅里叶级数理论中的一个著名问题。1913年俄国数学家Η.Η.卢津在他发表的一篇论文中，提出了如下的猜想:区间[0，2π]上平方可积函数的傅里叶级数，在[0，2π]上几乎处处收敛。这个猜想经过半个多世纪许多数学家的努力，终于被瑞典数学家L.卡尔森于用非常深刻的数学方法所证实。

傅里叶级数理论是19世纪初，从关于热传导的研究中产生的。中心问题是:怎样的函数可以用它的傅里叶级数来表示?随着勒贝格测度、勒贝格积分理论的创立，傅里叶级数的几乎处处收敛问题逐渐为人们所重视。1906年，P.J.L.法图首先证明，假如

W(n)=n，

(1)

则傅里叶级数

(2)

在[0，2π]上几乎处处收敛。1909年，H. 外尔指出，当W(n)=n1/3时，结论仍成立。1913年，E.W.霍布森把条件降低为W(n)=nε，ε是任意小的正实数。同年，M.普朗歇尔和G.H.哈代把W(n)分别改进到log3n和log2n。卢津又进一步提出他的猜想，认为W(n)=1(即(2)是平方可积函数的傅里叶级数)时，级数(2)就几乎处处收敛。

卢津的猜想是以他在一系列研究工作中得到的两个结果为根据的：

（1）以2π 为周期的平方可积函数ƒ的傅里叶级数几乎处处收敛的充分必要条件是等式

(3)

在[0，2π]上几乎处处成立，其中愝是ƒ的共轭函数，积分表示柯西-勒贝格积分②在上述条件下，积分

(4)

在[0，2π]上几乎处处存在，并且是有限的。

考虑到n→∞时，cos nx在[0，2π]上出现正值和负值的机会相等，因此卢津认为，对于平方可积函数，从(4) 的几乎处处有限性很可能导致式(3)在[0，2π]上几乎处处成立，从而ƒ的傅里叶级数几乎处处收敛。

卢津猜想发表之后，引起了世界上许多第一流数学家的关注。在长长的53年中，这个猜想既不能被证实，也无法被否定。但是围绕着它，出现了从正反两方面研究的一些重要成果。1923年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫构造了一个可积函数，它的傅里叶级数几乎处处发散。1926年他又发现了一个傅里叶级数处处发散的可积函数。但这两个可积函数都不是平方可积的。因此卢津猜想不能被否定。从肯定方面来接近卢津猜想的，则有1925年柯尔莫哥洛夫、Γ.A.谢利维奥尔斯托夫和A.普莱斯纳的工作。他们把W(n)进一步降低到logn，但这离卢津猜想的证实仍有很大距离。以后的40多年没有什么显著的进展。基于上述柯尔莫哥洛夫的两个反例，在相当一部分有影响的数学家中，逐渐产生了否定卢津猜想的倾向。例如1946年，在为纪念美国普林斯顿大学建校200周年举行的数学问题讨论会上，A.赞格蒙就认为，在三角级数理论方面提出猜想，根据历史的经验，往往是要失败的。他指出，甚至连续函数的傅里叶级数是否必有收敛点都还不清楚。他是从否定卢津猜想的角度来考虑的。其后，卢津猜想一般就改变成两个带有倾向性的正反两方面的问题：

（1）是否存在连续函数，它的傅里叶级数在某个正测度的点集上发散？②是否所有连续函数的傅里叶级数都几乎处处收敛？把问题集中到连续函数，这就反映了一定程度的倾向性，即认为原来的卢津猜想未必成立。可是改变后的卢津问题的证明仍没有多大进展。直到1959年，A.-P.考尔德伦指出，如果一切平方可积函数ƒ的傅里叶级数的部分和序列Sn(ƒ，x)几乎处处收敛，那么应当成立以下的不等式：

mes{…}表示点集的勒贝格测度，C是绝对常数。最后，于1966年，卡尔森利用哈代-李特尔伍德极大函数和考尔德伦的上述原理，以十分精巧的数学论证，证实了卢津猜想。