关于三体问题的积分介绍

[拼音]：santi wenti de jifen

[外文]：integral of three-body problem

一般三体问题的运动方程为十八阶的常微分方程组。十八世纪时就已知十个首次积分，如果再能求出八个首次积分，则三体问题就能解决。1843年，雅可比指出，如果除两个积分以外，其余积分都已找出，则三体问题也可以解决。因此，寻找三体问题的新积分，就成为解决三体问题的重要途径。对于一些特殊的三体问题，如平面圆型限制性三体问题，运动方程只有四阶，已有一个雅可比积分，所以只要再求出一个新积分就可求解，但是，直到现在还未解决。

1887年，布伦斯证明，如用坐标和速度分量作基本变量，则三体问题不存在新的代数积分（积分为变量的代数函数）。1889年，庞加莱又证明，如用轨道要素的组合作变量，则新的单值解析积分也不存在。1898年，潘勒韦进一步证明，表示为速度分量的代数函数形式的新积分也不存在。1941年，西格尔还证明，平面圆型限制性三体问题除雅可比积分外，不存在新的代数积分。尽管在寻找三体问题新积分的过程中出现了种种悲观的结论，但这些结论都是有条件的，并不是绝对的。二十世纪五十年代以后，又提出了两条研究三体问题新积分的途径。

一条途径是寻求级数形式的新积分。例如，1965年希腊康托普洛斯找到一个用级数表示的积分。这个积分展开为以平面圆型限制性三体问题中较小有限体的质量作为小参数的幂级数，级数的系数原则上可以逐步求出，但为求积形式。只是这个级数的收敛性还没有证明，因此还不能正式成立。另一条途径是用数值方法证明新积分是否存在，对平面圆型限制性三体问题已有初步结果。例如，沃齐斯等人用数值方法找到了假想积分同雅可比积分相交的曲面与坐标面的交线，被称为不变曲线。根据不变曲线反证假想积分是存在的，但还未具体找到。

参考书目

1. Y.Hagihara，Celestial Mechanics，Vol.I，MIT Press， Cambridge， 1970.