关于拉格朗日插值多项式逼近介绍

[拼音]：lagelangri chazhi duoxiangshi bijin

[外文]：approximation by Lagrange interpolation polynomials

拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。设ƒ(x)是定义在区间[α，b]上的函数，又设x1，x2，…，xn是[α，b]上的n个互不相同的点。早在1795年J.-L.拉格朗日就证明:如果在点xK处的函数值yK=ƒ(xK)(k=1，2，…，n)是已知的，则存在惟一的次数不高于n-1的代数多项式ln(ƒ，x)使得

。

倘若记

，

则ln(ƒ，x)有表达式

常称ln(ƒ，x)为ƒ(x)的拉格朗日插值多项式，为其结点组。若ƒ(x)是个次数不高于n-1的代数多项式，则ln(ƒ，x)=ƒ(x)。ln(ƒ，x)的几何意义是有且仅有一条n-1次代数曲线通过平面上预先给定的 n个横坐标互不相同的点。又称为拉格朗日插值的基本多项式。不论在理论上还是在实用上，拉格朗日插值多项式都是一种重要的逼近工具。假设ƒ(x)在 [α，b]上存在n阶导数，则ln(ƒ，x)逼近ƒ(x)的偏差有这样的表达式

式中ξ是[α，b]中某一与x有关的点。当然，这里对被逼近函数的要求太高，研究低度光滑函数的插值逼近是很重要的。

对于给定的结点组记

常称λn(x)为此结点组的勒贝格函数，λn为其勒贝格常数。如果记En-1(ƒ)为次数不高于n-1的代数多项式对连续函数ƒ(x)的最佳逼近值，则

而且有

因此，应该选取使λn尽可能小的结点组，或说让诸结点在[α，b]上均匀分布是合理的。但事实并非这样，即使对于函数ƒ(x)=｜2x-α-b｜，此时相应的ln(ƒ，x)也不能实现对ƒ(x)的逼近。至于选择其他结点组，仅要求函数连续也未必可行。因为G.费伯曾经证明，对于[α，b]上的任意一列结点组，n =1，2，…，都有[α，b]上的连续函数ƒ(x)，使得相应的拉格朗日插值多项式序列在[α，b]上不一致收敛于ƒ(x)。此外，还有

因此，选择使勒贝格函数λn(x)关于 n的增长速度接近于ln n的结点组序列是人们所期望的。最常用的是在[-1，1]上取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arccosx)的零点全体

作为结点组。

其相应的勒贝格常数不超过 于是只要函数ƒ(x)合乎迪尼－李普希茨条件则它的拉格朗日插值多项式ln(ƒ，x)在n →∞时，在[-1，1]上就一致收敛于ƒ(x)。这里 ω(ƒ，δ)是ƒ(x)的连续性模。用这种结点组的拉格朗日插值多项式逼近连续函数，其逼近度与最佳逼近值相比较，还有一个对数因子。如何修改插值多项式的构造以改善它的逼近性能，是人们所重视的问题。修改的办法很多，常用的是由С.Η.伯恩斯坦所提出的线性求和法。例如，令

x=cosθ (0≤θ≤π)，

定义

或令，定义

如仍取Tn(x)的零点全体作为结点组，则存在绝对常数с，使得在［-1，1］上都有

这说明，上述两种多项式对于低度光滑函数都有良好的逼近性能。

代替有限区间上的一致逼近，也可以考虑积分平均逼近，以及无限区间上的逼近。代替切比雪夫多项式的零点，可以考虑用雅可比多项式的零点作结点。而在周期的情况下，代替代数多项式的插值逼近自然以三角多项式的插值逼近为宜。此时，用周期区间的均匀分布的结点组是较合适的，可以建立类似于傅里叶级数部分和逼近函数的结果。