关于三角多项式介绍

[拼音]：sanjiao duoxiangshi

[外文]：trigonometric polynomial

形如

的多项式，式中系数αk(k=0，1，…，n)，bk(k=1，2，…，n)为任意给定的实数，αn，bn不全为零。n称为此三角多项式的阶数。任何一个三角多项式都是周期2π的周期函数，因此对于三角多项式的研究往往只要在长为2π的半开区间中进行。任何两个三角多项式的和、差、积仍然是个三角多项式，而且，若Tn(r)与Tm(x)分别为n阶与m阶三角多项式，且m≥n，则Tn(x)±Tm(x)是个阶不超过m的三角多项式，Tn(x)·Tm(x)是阶为n+m的三角多项式。利用欧拉公式

，，

任意一个n阶三角多项式都可写成

，

式中

n三角多项式在任一长为2π的半开区间中，最多只有2n个零点。因此，若两个n阶三角多项式在长为2π的半开区间中有2n+1个点处取值相同，则此两个三角多项式完全相同。

对于n阶三角多项式Tn(x)，记

常称为Tn的Lp范数，若1≤p≤p┡≤∞，则

。

此外还有如下的尼科利斯基不等式

。

特别有

。

设Tn(x)是n阶三角多项式，Tń(x)是它的导数，则有不等式

。

这是1912年С.Η.伯恩斯坦发现的，称为伯恩斯坦不等式。其中系数n不能再减小，例如对任何常数A及α，Tn(x)=A sin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不等式在函数逼近论中起着重要的作用，并且有着各种拓广。例如，С.Б.斯捷奇金于1948年证明，对任何n阶三角多项式Tn(x)及自然数k，都有

，

式中 。

对给定的n阶三角多项式Tn(x)，记

，

称为Tn(x)的共轭三角多项式。对于共轭三角多项式的导数有不等式

，

这里系数n也是不能减小的。

应该指出，对于复系数三角多项式Tn(x)（即诸系数αk，bk为复数），同样有

。

于是，对于自然数k，有

。

不仅如此，由此还能推出，若pn(z)是n次复系数代数多项式，则

。

关于n次代数多项式pn(x)，由伯恩斯坦不等式得到

。

此不等式在区间端点不合适，但有马尔可夫不等式：

。

设vj是自然数，zj是复变数(j=1，2，…，m)，是仅与足码有关的复数，则称

为关于变量z1，z2，…，zm 的阶分别为v1，v2，…，vm的三角多项式。如果系数满足条件

，

则称(z1，z2，…，zm)为实三角多项式。此时，如限制变量取实值，则它是一个实函数。实三角多项式也可以借助欧拉公式将它改变为正弦函数与余弦函数的实系数的多项式。例如，若Tυu(x，y)是关于变量x，y的vμ 阶实三角多项式，则存在着仅与足码有关的实数，使得

实三角多项式与单变量的三角多项式有许多类似的地方，也可以建立种种不等式。

自然，三角多项式是一类简单的周期函数，但是，它是近似表示一般的周期函数的有效工具，随着三角多项式的阶的增高，任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到预先给定的程度。反之如果已知这种逼近程度的收敛于零的速度，也就有可能推出被逼近函数的构造性质，这个事实本身是有着深刻的物理意义的，周期运动的分解便是一个明显的例证。三角多项式是在其他数学、物理、力学等领域中有着广泛的应用。