关于二次型的算术理论介绍

[拼音]：ercixing de suanshu lilun

[外文]：arithmetic theory of quadratic form

主要研究“以型表型”的问题。设D 是域K或K中含有单位元素1的环，以I记K或D。所谓I上的二次型，是指n个变元的二次齐次式

简称为型ƒ。当K 的特征非2时，常记 ƒii＝αii，而写此时将ƒ的系数矩阵(ƒij)记为 F，将x视为列矩阵，便有 ƒ＝xTFx，其中xT表x的转置阵。F的秩nƒ和行列式dƒ，分别称为型ƒ的秩和行列式。F为满秩，则称ƒ为非奇异的；F为降秩，则称ƒ为奇异的。对给定的I上n元型ƒ和m元型g（m≤n），若存在使；或者说，当K的特征非2时存在n×m矩阵B＝（bij），使BTFB=g，其中g是型g的系数矩阵，则称ƒ可在D上表出型g，且B称为ƒ表g的一个表法。当m=1时，由ƒ(yb)=g(y)=αy2可得ƒ(b)=α∈I，此时称ƒ可在D上表出I中元素α。知α求b即所谓以型表“数”。当α=0而b≠0，ƒ非奇异时，则称ƒ为I上的零型。例如，有理数域上的三元二次型x2+y2-z2是整数环上的零型，且有表法(3，4，5)(商高定理)。当非奇异型ƒ可在I上表出I的所有非零元素时，则称ƒ为I上的泛型。当m=n时，若型ƒ和g可在D上互相表出，则称ƒ与g是在D上等价的，记。I上诸型可分成若干在D上的等价类。若ƒ与g同类，则nƒ=ng，τ∈D，简记为；且可在D上表出之型相同。但是，表数相同的型不一定是等价的。

最早对二次型进行系统研究的是C.F.高斯。二次型的算术理论在不定方程中有大量的应用，也应用于组合设计和结晶学。

型的性质与选取型的系数所在的基域K和环D有关。在有理数域Q和p进数域Qp，以及它们包含的整环上所得的结果，大都可以推广到一般的整体域和局部域上。

设K是任意一个特征非2的域，则有以下重要结果：

（1） K上秩为n的型均在K上等价于一个对角型式中αi是K中无平方因子的非零元素。

（2）E.维特于1936年证明了消去定理：若非奇异l元型，则的充分必要条件为。

（3）C.L.西格尔于 1941年证明了K上的零型必为K上的泛型。反之不常真。由此可知，非奇异n元型ƒ可在K上表出K中的元素α的充分必要条件为n+1元型是K上的零型。于是把表数问题化为表零问题。

（4）K上非奇异n元型ƒ可在K上表出非奇异m元型g的充分必要条件为存在n-m元型h，使得当K=C为复数域时，秩为n的型均在C上等价于单位型，故的充分必要条件为nƒ=ng。ƒ为零型的充分必要条件为nƒ≥2。当K=R为实数域时，秩为n的型ƒ均在R上等价于某个形如的对角型。数s=sƒ，称为型ƒ的正惯性指标。由消去定理可知，的充分必要条件是nƒ=ng，sƒ=sg。通常把s=0或n的型，称之为定型；s=n的型，称之为正定型；0<s<n的型，称之为非定型。ƒ是零型的充分必要条件为 ƒ是非定型。当K=Fq是一个有限域时，秩为n的型均在Fq上等价于某个对角型，式中α为1或某个非平方数。的充分必要条件为nƒ=ng，;ƒ是零型的充分必要条件为nƒ≥3或nƒ=2而－dƒ是平方数。当K=Qp是p进数域时为判别型在Qp上等价性及表数问题，H.哈塞关于对角型引入了一个重要的符号，即哈塞符号Cp(ƒ)，亦称哈塞-闵科夫斯基符号。后来，G.帕尔将其推广为

式中Di表非奇异型ƒ的矩阵中之左上角i阶主子式。此处只要求Di中无相继为0的，且对于为0的Di可随意取作1或-1。式中的符号(α，β)p=+1或-1，视αx2+βy2=1在Qp中有解或无解而定。这里α、β是Qp中的非零数，p为素数或，Q∞即实数域。(α，β)p由D.希尔伯特于1897年引入，称为希尔伯特符号，亦记作或。关于(α，β)p有一套实际算法，因此Cp(ƒ)是可以算出的。利用哈塞符号可以证明，p≠时，Qp上两个非奇异型的充分必要条件为，Cp(ƒ)=Cp(g)。Qp上非奇异型ƒ为零型的充分必要条件是:nƒ=2时；nƒ=3时Cp(ƒ)=1；nƒ=4时或而Cp(ƒ)=1；nƒ≥5。

哈塞于 1923年至1924年建立了关于有理数域Q上型的著名准则。弱哈塞准则，亦称哈塞－闵科夫斯基定理：Q上两个非奇异型的充分必要条件为对所有素数p（包括p=），。强哈塞准则：Q上非奇异型ƒ是Q上的零型的充分必要条件为对所有素数p（包括p=），ƒ是Qp上的零型。于是Q上的型问题，常可化为Qp上的问题，而Qp上的问题借助于哈塞符号即可解决。例如，应用Qp上的结果可得到A.迈耶的定理：Q上秩大于4的非定型，均为Q上的零型。对于K是特征为2的域时，也有少量的研究工作。

当域K的特征非2，I=D嶅K是一个环（通常取D使K为其商域）时，设

，

C.F.高斯把ƒij均在D中的型称为整型；L.A.西伯把ƒii和2ƒij均在D中的型称为整型。习惯上，前者称为经典整型；后者称为非经典整型或整值整型。这两种整型仅当2非D中之单位数时才是不同的。此后如无特殊声明，概指经典整型。当ƒ11，ƒ12，…，ƒnn的最大公因数是D中的单位数时，则称ƒ为本原型。当D为有理整数环Z或2进整数环Z2时，则使为整值型的本原型ƒ称为非真本原型；否则，称为真本原型。当非奇异n元整型ƒ可在D上表出m元非奇异整型g，且表法矩阵的所有m阶子式的最大公因数为单位数时，则称此表法是本原的。一般环上的型是极难处理的。例如，当D是非主理想环时，D上的奇异型甚至可能不在D上等价于一个有较少变元的非奇异型。当D=Zp(p≠)时，Zp上的型均在Zp上等价于一个形如的型，其中gi是行列式为单位数且无公共变元的整型。当P≠2时，是惟一确定的；当p＝2时，gi或是对角型或是形如2x1x2与 的型的直和，此时gi虽不惟一，但l、ti、gi的变元数以及gi之为真本原型或非真本原型却是不变的。Zp上矩阵为F之非奇异n元整型ƒ可在Zp上表出矩阵为g之非奇异m元整型g的充分必要条件为：存在Z中的n×m矩阵A使得 成立，此处w=1或3视p为奇素数或2而定，u≥0适合于pu｜dg，pu+1dg。当D=Z时，弱哈塞准则不成立。对所有p(包括p=)均在Zp上等价于整型ƒ的全体整型，称为ƒ的一个族。族中可能包含多个Z上的等价类，此时只能证明：对所有素数p和p＝，若非奇异整型 ƒ 均可在Zp上表出非奇异整型（或非零整数）g，则在ƒ的族中必存在一个可在Z上表出g的整型。因此，当ƒ的族只含一个Z上的等价类时，即可获得ƒ表型（或数）的解答。M.艾希勒于 1952年引入一种介于Z上的等价类和族之间的分类，即所谓旋子族，并证明了nƒ≥3的非奇异非定整型ƒ的旋子族与ƒ的在Z上的等价类重合。非定整型在Z上的等价性问题，可由判定两型是否同属一个旋子族的方法解决。

关于表数问题，G.L.沃森在1955年用初等方法得到了一个很好的结果：nƒ≥4的非奇异的非定整型ƒ可在Z上表出一个非零整数α的充分必要条件是：对所有p（包括p=），ƒ均可在Zp上表出α。对于正定整型在一般情形下只能证明:若nƒ≥4的正定型ƒ对每个p（包括p=）均可本原地在Zp上表出正整数α，则存在整数N=N(ƒ)，当α≥N 时，α可被ƒ本原地在Z上表出;当α<N 时，α可被ƒ的旋子族中的某个整型本原地在Z上表出。

这是R上的型关于在Z上等价性的理论，由C.埃尔米特首先提出。其基本问题是要从R上诸型的每个Z上的等价类中选出的一个系数尽可能简单(即满足某些所谓简化条件)的型来，这样的型称为已化型。简化方法很多，最常用的是埃尔米特和H.闵科夫斯基的简化法，它们均与正定二次型 ƒ 的极小值 minƒ 有关，minƒ是型ƒ(x)对于所有非零整向量x的最小值。可以证明，存在一个仅与变元数n有关的常数сn，使得对所有n元正定型ƒ均有。例如，埃尔米特取。当n≤8时，сn的最佳值rn已于1936年前定出：，但是n>8时rn的值迄今未解决。关于正定型，埃尔米特简化法和闵科夫斯基简化法分别把适合简化条件:+是n-1元已化型，和简化条件：对每个i(1≤i≤n)和所有使 bi，bi+1，…，bn的最大公因数是1的整向量均有ƒii≤ƒ(b)的型ƒ，称之为H已化型和M已化型。易知，对M已化型也有ƒ11=minƒ，且可证明简化条件中的b只需有限个。 埃尔米特还给出了关于非定型的一种简化法：对给定的非奇异n元非定型g，有多种方法将其表为n个线性无关的实线性型Li(x)的平方的代数和 ，εi=±1。对这样的每种表法，正定型称为 g的一个埃尔米特强函数。若ƒ中有一个是M已化型，则称非定型 g为H已化型。对二元非定型，有一种基于连分数的简化法，但是不能推广到多元的情形。可以证明，R上每个正定型均在Z上等价于至少一个而至多有限个H（或M）已化型;R上每个非定型均在Z上等价于至少一个H已化型；Q上每个非定型均在Z上等价于至多有限个H已化型。对于整型，可以证明，有给定行列式的n元非奇异整型，分别属于有限个Z上的等价类。因此，族和旋子族中均只含有限个Z上的等价类。

参考书目

1. J.W.S. Cassels，rational Quadratic Forms，Academic Press，London，1978.
2. L.E.Dickson，History of the Theory of Numbers，Vol.3， Carnegie Institution of Washington， New York，1952.
3. B.W.Jones，The Arithmetic Theory of Quadratic Forms，carus Math.Monographs，No.10，Buffalo，1950.
4. G.L.Watson，Integral Quadratic Forms， Cambridge Univ.Press，London，1960.