什么是网络拓扑?

什么是网络拓扑?

[拼音]：wangluo tuopu

[外文]：network topology

应用图论研究网络的几何结构及其基本性质的理论。又称网络图论。电工技术中，各类电路都可模型化为不同电路元件和连接组成的网络。因而网络拓扑是电工中研究电路的重要工具。

图1a是一个电网络的示例，它的几何结构可用图1b中的线图来表示。在线图中电路元件的线段长短和曲直都不重要，重要的是节点和支路的连接关系。

图论研究始于1736年瑞士数学家L.欧拉发表的关于柯尼斯堡七桥问题的论文。1845年G.R.基尔霍夫用图论解决了电网络中求解联立方程的问题，并引进“树”的概念，为图论应用于电路理论奠定了基础，20世纪以来，图论应用渗透到许多学科领域，在网络分析、网络综合、计算机辅助设计、网络流等方面都占有一定地位。

基本概念

网络拓扑中的线图是节点和支路的集合。支路两端是节点。如果图中的各个支路都标定了方向，称为有向图（图1b）；否则称无向图。由图中部分节点和支路构成的图称为该图的子图。任意两个节点间至少有一条路径相通的线图称为连通图。图中由支路序列构成的一条闭合路径称为回路。割集是连通图的具有以下性质的支路集合：把这些支路移去将使图分离为两个部分，但如少移去其中任一条支路则图仍将连通。如图1b中，支路e1、e2、e6、e3就构成一个割集。图中包含全部节点、但不包含回路的连通子图称为图的一棵“树”，属于这棵树的支路称为树支，其他支路称为连支。当图具有n个节点和b条支路时，其树支数为n-1，而连支数为b-n+1。图2中表示出图1b线图的一些树。

利用树可方便地确定电路中电压、电流的独立变量，并有助于列出独立的电路方程。在图中任选一树，在一树中每增添一条连支就构成一个只包含该连支的回路。这样的回路称为基本回路。这样可构成(b-n+1)个基本回路。因为各个基本回路都包含了一个互不相重的连支，这组回路是独立的，可应用基尔霍夫电压定律列写出(b-n+1)个独立的回路电压方程。在每个回路电压方程中只包含一个连支电压，其余为树支电压。这表明在支路电压中树支电压是独立变量，连支电压可通过树支电压来表示。图3a中给出了图1b线图的一组基本回路(粗线表示所选的树)。

同理，任选一树，每一树支和某几个连支可组成一个割集，称为基本割集。这样，可得(n-1)个基本割集，因每个基本割集包含了一个互不重复的树支，这组割集是独立的。因每一割集的支路电流代数和为零，可应用基尔霍夫电流定律列出(n-1) 个独立的割集电流方程式。在每个割集电流方程中只包含一个树支电流，其余为连支电流。这表明在支路电流中连支电流是独立变量，树支电流可通过连支电流来表示。图3b中给出了图1b线图的一组基本割集。

在求解复杂电路时，基于选用不同的独立变量就形成了不同方法。常用的节点电压法、回路电流法、割集法就是分别选用节点电压、回路电流(即连支电流)和树支电压为独立变量的。它们的未知量数分别是n-1，b-n+1和n-1个。

线图的矩阵表示

线图的连接关系和拓扑性质可通过矩阵来描述。表示有向图节点(参考节点除外)和支路关系的关联矩阵A的定义是一个(n-1)×b矩阵


，其中

这样，图1b的关联矩阵就是

任选一树，如支路按先连支后树支顺序，则表示基本回路和支路关系的基本回路矩阵Bf的定义是一个(b-n+1)×b矩阵


，其中

这样，图3中基本回路矩阵就是

同理，表示基本割集和支路关系的基本割集矩阵Qf的定义是一个(n-1)×b矩阵[qij]


，其中

这样，图3b中的基本割集矩阵就是

对于同一个线图，如支路按先连支后树支排序且编号相同，将矩阵分成连支部分和树支部分两个子矩阵，则3个矩阵之间有如下的关系

描述线图的矩阵还有许多，如路径矩阵等，这些矩阵统称为拓扑矩阵，它们都具有许多有意义的性质。

电网络方程

利用上述拓扑矩阵可以系统地把电路的基本定律表达出来。为此，按支路和节点编号顺序把电路中的支路电流、支路电压和节点电压表示成相量，分别记为I、U、V，并把支路电流（压）相量写成连支电流(压)相量和树支电流(压)相量的合成，即


，


，则基尔霍夫电流(KCL) 定律和电压(KVL)定律可分别用拓扑矩阵A、Bf、Qf表达（见表）。另外，按各支路所含元件的参数列出支路约束方程

式中Yb、Zb分别是支路的导纳矩阵、阻抗矩阵(b×b阶)。Is、Us分别是支路电流源电流向量、支路电压源电压向量综合KCL、KVL和支路约束方程，可以证明，求解线性电路中的节点法、回路法、割集法可归结为分别列写和求解下列方程节点电压方程：

回路电流方程：

树支电压方程：

方程的左端为待求的独立变量（分别为V，Il，Ut）和其系数矩阵，在方程右端出现的Us和Is为支路电压源和电流源相量。以节点方程为例，其系数矩阵AYbAT屌Yn称为节点导纳矩阵，方程右端AYbUs-AIs屌Jn为注入节点的等效电流源相量。这种矩阵形式的方程式规则而系统，适用于计算机辅助分析。只要把网络的结构和参数输入计算机，计算机就能自动地列写出方程式。由方程解出未知量后可进一步求出支路电压和电流。

电网络的拓扑分析

根据电网络的线图和元件参数可直接得出表示电压、电流关系的网络函数。一个线性网络的网络函数可以用其节点导纳矩阵行阵式detYn与它的代数余子式之比来表示。J.C.麦克斯韦首先指出，RLC网络的detYn等于网络线图的全部树的树支导纳乘积之和，于是对detYn的计算就可转化为列举出线图的全部树，并计算全部树支导纳乘积之和。类似的方法也能用于求detYn的代数余子式。这种用列举树的方法以求得网络函数的方法也称之为K-树法，并已推广到求解含有变压器和受控源等元件的电路问题，在网络分析和网络综合中都有所应用。

信号流图法是S.J.梅森提出的用于分析线性系统的拓扑方法。将系统各物理量之间的代数关系用有向图表示，根据一定的规则和公式可将线图进行简化和变换，并直接求出系统的传递函数。

拓扑分析方法使得对网络问题的求解转化为借助计算机来寻找线图的树、回路、路径等。但是，随着网络中节点数和支路数的增加，对应线图中树和回路数目将急剧增加，因而不宜用这种方法分析规模较大的电路。

参考书目

陈树柏主编：《网络图论及其应用》，科学出版社，北京，1982。