什么是信号流图?

[拼音]：xinhao liutu

[外文]：signal flow graph

借助拓扑图形求线性代数方程组解的一种方法。在1953年由S.J.梅森提出，故又称梅森图。这一方法能将各有关变量的因果关系在图中明显地表示出来，常用于分析线性系统，例如求它们的传递函数。

设有一方程式

(1)

对应于方程中每一变量（已知的或未知的），在图中

设一节点，并赋予此节点一权值，它等于该节点所对应的变量值，并以此变量为所对应的节点的名称。对应于x1的式子中的bx2项，在图中引一支路由x2指向x1，并赋予此支路以一权值，它等于x1的表达式中x2项的系数b。这种系数称为支路增益或传输。对式(1)中的每一式、每一项都按上述步骤设置节点、支路，就得到图1所示的信号流图。在此图中规定一节点所代表的变量值等于所有指向（或称流入）该节点的支路权值与其始端节点的变量的乘积之和，即

按照此规则，在图1中节点x1、x2写其方程就得到原给定的方程。由图可见，没有支路指向它的节点xO为源点，源点的变量常代表方程所描述的系统输入，是独立变量；变量x1、x2受其他变量的影响，是非独立变量；没有任何支路离开的节点称为收点，收点的变量一般当作输出变量。如果能建立某些方法简化信号流图，使之变成只有源点和收点，例如将图1化成图2那样，求出g，h值，便得到了方程的解答以及有关的量，如总的传输比、增益等。

上面所述由给定线性方程求作信号流图的方法可推广到一般情形。设有以矩阵表示的方程组

Ax＝Bxs (2)

式中A是n×n矩阵，x是n维输出矢量，B 是n×m 矩阵，xs是m维输入矢量，xs＝(xs1，…，xsm)。式(2)总可以写成下列与之等价的方程式

x=(1－A)x＋Bxs (3)

就可以作出其信号流图。 图中由xj到xi(i≠j)的支路的权即等于αij;由xi到xi的支路称为自回路，它的权为1-αii；由xsj到xi的支路的权值等于bij。如果A为非奇异矩阵，方程(2)有惟一解，这解也可以借助信号流图求出来。

通过消去信号流图中的一些节点或其他方法，可以将信号流图化简。图3中列举了若干简化信号流图的法则。左栏是信号流图中的一个局部，它可以变换成右栏中相应的信号流图。

利用上述方法可以将信号流图逐步化简。但对较复杂的信号流图，这种步骤将会多而且繁。梅森提出了一个由信号流图求其增益的一般公式，称为梅森公式。公式的含义实质上是对所涉及的方程式解答的行列式的展开式作出图形上的解释。

由于信号流图对应于线性代数方程，其解可写作

式中Tji是输入xsi 到输出xi的总增益（相当于控制理论中的传递函数，电路理论中的网络函数）。由线性代数方程的理论知道，Tji可由对应的方程式的系数行列式和主子式求出。根据叠加原理，只须讨论有一个输入xsi的情况。将xsi、Tji分别简记为xs、Tj，则有

xj=Tjxs (j＝1，2，…，n)

计算Tj的梅森公式如下

(4)

式中Pk等于由xs到xj的第K条道路的增益；△＝1-（全部回路增益之和）＋（全部2重回路增益）。说明上式要用到下面的术语：

（1）道路，即有向道路；

（2）道路增益，即道路中各支路增益的乘积，有时也用它作为道路的名称；

（3）回路(反馈回路)，即有向回路；

（4）非切触回路，即任意二回路间没有公共节点的若干个回路；

（5）n重回路，是n个非切触回路；

（6）回路增益L，即回路中的各支路增益的乘积，有时也用它作为回路的名称；

（7）n重回路增益，即n重回路的各回路的增益的乘积，在式(4)中

Pk＝由xs到xj的第K条道路的增益

△＝1－（全部回路增益之和）＋（全部2重回路增益之和）－（全部3重回路增益之和）＋…，

△称作图的行列式。△k等于把△中与道路 Pk上各节点相关联的诸项去掉后所得的结果，即去掉△中与Pk相切触的有关项。

线性时不变系统的信号流图表示与控制系统中最常用的框图表示非常相似，由系统的框图作相应的信号流图是容易的。电路方程也可以用信号流图来表示。

梅森公式给出了由信号流图求传输比的拓扑公式，对于简单的系统，可以直观地求出传输比。对于复杂的系统，需要有系统的算法去计算式(4)中的各项。象网络拓扑分析方法那样，它需要很大的计算工作量。梅森公式还有一个有价值的特点，那就是它可给出传输比的表达式，这对于推导符号函数是有用的。