什么是系统辨识实验设计?

什么是系统辨识实验设计?

[拼音]：xitong bianshi shiyan sheji

[外文]：experimental design of system identification

为了从一定数量的实验中最大程度地提取有关系统参数的信息，而对实验条件、数学论证和实施方法所作的设计，是系统辨识的第一个步骤。在进行数据采集之前，对于影响系统辨识精度的各个因素的选定，要以达到某种最优性能指标作为准则，同时考虑实验条件、数学论证和实施方法。“实验设计”是借用于数理统计学中的同一术语。

准则和限制

由参数估计理论得知：一切无偏估计量估计误差的协方差矩阵总是以费歇信息矩阵M 的逆阵M-1为下界。而有效性估计的估计误差协方差矩阵则达到了这个下界。估计误差协方差矩阵是参数估计的精度标志。在系统辨识中,费歇信息矩阵M 的元素通过数学模型显式地或隐式地决定于系统的输入ui和采样间隔Δi等可控变量。因此由信息矩阵M 产生的标量函数J＝Φ(M),就可供作衡量不同实验所包含信息的一种量度或准则。另外，在进行一项实验时，实验条件往往受到许多限制,例如：输入信号的类型、输入和输出的振幅或功率、允许持续进行实验的时间、最大和最小的采样速度、采样时间间隔（等间隔与不等间隔）等的限制。

综合最优实验设计

当选定了一种实验信息的量度准则之后,在某些约束条件下对输入信号和采样间隔(也可以包括预采样滤波器)进行有约束的最优化计算,就可以得到在这个准则和约束条件下的综合最优实验设计。一般地说，综合最优实验设计很复杂，只有当模型具有简单形式时，才能给出解析形式的条件，通常还要进行比较复杂的最优化计算才能得到结果。为了实用，常常采用次优设计。

单项最优实验设计

除了综合设计外，也可以考虑单项的最优输入信号设计或单项的采样间隔设计，这相对来说要简单一些。在实际应用中，通过计算机进行采样是等间隔的，因此最优输入信号的设计问题成为系统辨识实验设计中的主要内容。输入信号因辨识的模型类的不同而异。例如模型类属于频率响应，则单频正弦输入信号常比方波信号为好；如果模型是带有随机噪声的，则使用伪随机信号比一般的方波信号好。输入信号的设计有时域和频域两种途径。

时域设计

输入信号的时域设计是指设计结果为时域表示形式,即信号为时间t的函数。设系统具有线性传递形式：yt=G1(z)ut+G2(ε)t，其中{ut}和{yt}分别为输入和输出序列,{εt}是数学期望为0、协方差为


的高斯白噪声序列,G1和G2是传递函数,G2满足条件: G2(∞)＝1。最优设计准则为关于输入信号 ut的极小化目标函数J＝-log det嚔，其中嚔＝(1/N)M 为平均信息矩阵, N为信号序列的长度,M为费歇信息矩阵。为了不使输入信号平均功率过大，造成系统的过分激励，对输入信号应加上功率限制：


。在这个约束条件下,使目标函数J对于时域输入信号序列{ut}极小化,就能获得时域的最优输入信号{ut}。这是一个标准的非线性最优控制问题,原则上通过最优化计算可以求解,当G1(z)呏1，


时为滑动平均模型。这时问题有解析解,即满足正交性条件

的序列{ut}。这意味着信号的样本自相关函数为一离散脉冲函数。借助于阿达玛矩阵分析,对某些N可以实现这个设计。例如,序列{ut}={- - + - + + + - - + - + +- - - - - - -},就是N＝20时满足上述条件的最优输入信号。当N 很大时,白噪声序列和伪随机序列可以近似地满足上述正交性条件。

频域设计

输入信号的频域设计结果是求出信号中应包含各种频率的成分及其振幅。如果信号长度N 允许足够大，输入信号{ut}可以用谱表示，对输入信号的功率限制为


，其中 ξ(ω)是输入信号的功率谱，则频域设计过程是对目标函数J=-log det嚔在上述功率约束条件下的优化过程。业已证明，总可以用有穷多个不同振幅的单频正弦信号相加得到所要求的最优输入信号。例如对于系统


，可以证明它的最优输入信号是一单频的正弦信号。