什么是画法几何?

[拼音]：huafa jihe

[外文]：descriptive geometry

研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科。画法几何是机械制图的投影理论基础，它应用投影的方法研究多面正投影图、轴测图、透视图和标高投影图的绘制原理，其中多面正投影图是主要研究内容。画法几何的内容还包含投影变换、截交线、相贯线和展开图等。

1103年，中国宋代李诫所著《营造法式》中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未形成画法的理论。1799年法国学者G.蒙日发表《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影变换、轴测图以及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。

投影法是从光线照射空间形体在平面上获得阴影这一物理现象而来的。以光源S点为投影中心，S点与形体上某个A点的连线SA为投影线（即光线），显现阴影的P平面为投影面，SA投影线与P平面的交点ɑ就是A点在投影面上的投影。依此方法作出形体上其余点、线的投影，便得到形体在投影面上的投影(图1a)。这种投影法因所有投影线都经过投影中心S点，故称为中心投影法。若S点移向无限远处，即所有投影线都互相平行时，则称为平行投影法。平行投影法又按投影线是否垂直于投影面分为斜投影法（图1b）和正投影法（图1c）。

用中心投影法可以得到透视图，用平行投影法可以得到轴测图，这两种图的立体感都很好。为显示形体的立体形象，在建筑工程中常使用透视图，在机械工程中常使用轴测图。用正投影法将空间形体（一般是地形或曲面）投影到水平放置的投影面上，并在相应点、线的投影旁加注它们到投影面的高度数值，这种图称为标高投影图。它应用在地形测量、土木、水利、地质和采矿等工程中。以上3种图都是单面投影图。用空间形体的几个正投影联合表达其形状和位置的图称为多面正投影图。这种图广泛应用在各项工程中。

空间形体具有长、宽、高三个方向的形状大小，但它的投影只能反映两个方向的形状大小。为确切和全面地表达空间形体，必须采用多面正投影图。

取互相垂直的两个投影面（正立投影面和水平投影面），用正投影法分别作出空间形体（图2中为三棱锥）在正面和水平两个投影面上的投影（图2中黑色图形部分）。再将水平投影面绕两投影面的交线OX向下旋转90°，使它和正立投影面处在同一平面上，则得到空间形体的二面正投影图。在二投影面的基础上增加一个与正立投影面和水平投影面都垂直的侧立投影面，再作出形体的侧面投影（图2中颜色图形部分），然后将侧立投影面绕它和正立投影面的交线OZ向右旋转90°，使它也与正立投影面处在同一平面上即可得到空间形体的三面正投影图。

多面正投影图可以确切地表达空间形体的形状和位置。特别是当形体上直线、平面等处在与投影面平行或垂直的某个特殊位置时，还能在其投影中反映出平面图形的实际形状，以及线、面或两面间夹角的真实大小。对于不处在特殊位置的线和面，就不具有上述特征，这时需要采用投影变换的方法解决。

投影变换是通过改变空间形体和投影面的相对位置的新投影方法。投影变换主要有换面法和旋转法。

（1）换面法：空间形体不动，用新的符合解题要求的投影面来替换原有的投影面，得出空间形体新的投影。例如，在图3中，三角板在采用换面法前与正立投影面倾斜，与水平投影面垂直，它的正立、水平两个投影都不反映三角板的真实形状。改用垂直于水平投影面并平行于三角板的新投影面来替换原有的正立投影面，则在新投影面和水平投影面的二面正投影图中便反映出三角板的真实形状。换面法的变换规律是：点的新投影到新投影轴的距离等于点的被替换投影到被替换轴的距离。

（2）旋转法：保持投影面不动，让空间形体绕某条轴线旋转到需要的位置，求出新的投影。例如，图3中，若将三角板绕其本身的垂直于水平投影面的直角边旋转到与正立投影面平行的位置，这时新的正立投影就能反映三角板的真实形状。

平面与空间形体表面的交线称为截交线，两空间形体表面的交线称为相贯线。在很多情况下虽然能根据空间形体和投影面的相对位置作出空间形体的多面正投影图，但它们之间的截交线和相贯线却不能直接画出，需要借助于辅助面法或其他作图方法画出。

将空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形。对于用板料制作的零件，除需要用多面正投影图表示零件的形状外，还常用展开图表示零件制作前板料的形状。依据空间形体的多面正投影图绘制其展开图，实质上就是求取其表面的真实形状，这可以通过图解或计算的方法得到。

参考书目

范正通等编：《画法几何》，浙江人民出版社，杭州，1980。