什么是网络拓扑?

什么是网络拓扑?

[拼音]：wangluo tuopu

[外文]：network topology

研究网络和它的线图的拓扑性质的理论，又称网络图论。拓扑是指几何体的一种接触关系或连接关系；当几何体发生连续塑性变形时，它的接触关系会保持不变。用节点和支路组成的线图表示的网络结构也具有这种性质。

网络拓朴的早期研究始于1736年瑞士数学家L.欧拉发表的关于柯尼斯堡桥问题的论文。1845年和1847年，G.R.基尔霍夫发表的两篇论文为网络拓扑应用于电网络分析奠定了基础。

基本概念

图1a是一个电网络示例，它的结构可用图1b的线图表示。图2的线图表示一个交通网络，它描述连接各个区域的路径。构成线图的两种元素是节点和支路。如果线图中的每个支路都规定了方向，则称为有向图（图1b），否则称为无向图（图2）。

任意两个节点之间至少有一条路径的线图称为连通图。在线图中抽出部分节点和支路组成的图称为该线图的子图（真子图）。

具有n个节点和b条支路的线图中包含n个节点，但不包含回路的连通子图称为线图的“树”（生成树）。线图中属于这个树的支路称为树支，不属于这个树的支路称为连支。树支恰有n-1条，因此连支有b-n+1条。图3中表示出图1b的线图的一些树。任选线图中的一棵树，给树每增添一条连支就构成一个只包含该连支的回路，称为基本回路。这样可构成 b-n+1个基本回路组。因为每个基本回路包含了一个其他基本回路所没有的支路，这组回路是独立的。基本回路的数目和树支的数目与基尔霍夫定律（电压定律和电流定律）方程式中独立变量的数目有关。

线图的矩阵表示

利用矩阵可以描述线图的节点和支路的相互关系。若将线图的节点和支路分别编号为v1，v2，…，vn和 e1，e2，…，eb，则有向图的节点一支路关联矩阵Aa的定义是一个n×b矩阵[aij]n×b，其中

这样，图1b的关联矩阵就是

还可用矩阵描述回路和支路的关系，如果把线图的各个回路编号，并任选回路的方向，就可定义回路矩阵Ba为一个c×b阶矩阵[bij]c×b，这里c是回路的总数。

图4标出了线图的全部7个回路，它的回路矩阵为

关联矩阵和回路矩阵具有许多有意义的性质。理论分析表明，关联矩阵Aa中有n-1行是线性独立的，因而只须考虑划去 Aa中任一行后的关联子矩阵A。回路矩阵Ba中有b-n+1行是独立的，因而只须考虑Ba中b-n+1个独立行构成的子矩阵B。在所给的例子中，例如只考虑由c1、c2和c3三行组成的子矩阵即可。

如果同一个线图的关联矩阵和回路矩阵的列按相同边的次序排列，则有下列关系

描述线图的矩阵还有许多种。例如，割集矩阵、邻接矩阵等。这些矩阵统称为拓扑矩阵。

电网络方程式

利用上述的拓扑矩阵可以系统地把基本的电路定律表达出来。为此，按网络的节点和支路的编号顺序把电路中的各支路电流、支路电压和节点电压排成矢量，记为Ib、Ub和 Un。可把基尔霍夫电流定律(KCL)和电压定律(KVL)表达为AaIb＝0 (KCL)BaUb＝0 (KVL)

以上两式都不是彼此独立的，所以可以改用AIb＝0BUb＝0

这样总共有(n-1)+(b-n+1)=b个独立方程，另外按各支路所含元件的性质，参数还可列出b个支路电流和电压的关系式，就可解出电路的2b个支路电流和支路电压。

节点电压矢量和支路电压矢量之间有如下关系ATUn＝U6所以可把电网络的各支路导纳排列成b×b阶（对角）阵（称为支路导纳Yb）。可以证明，线性电路问题的求解归结为求解下列方程式(AYbAT)Un＝Jn

式中Jn是注入各个节点的等效独立电流源组成的矢量；AYbAT


Yn

称为节点导纳矩阵。这种形式适于计算机辅助分析。把网络结构数据和元件的性质、参数输入计算机，计算机就能自动地建立节点导纳矩阵Yn和等效独立电流源矢量Jn，根据节点方程式YnUn=Jn，求解Un＝Yn-1Jn，可求解得Un。由Ub＝ATUn可求出各支路电压。

电网络的拓扑分析

根据电网络的线图和网络中元件参数可以直接得出表示物理量关系的网络函数。J.C.麦克斯韦曾指出，RLC网络的节点导纳矩阵行列式detYn等于网络线图的全部树的树支导纳乘积之和。于是对detYn的计算就可转化为列举出线图中的全部树，并计算全部树支导纳乘积之和。类似的方法也能用于计算detYn的代数余子式。因此，网络函数可以用列举树的方法求得。这种方法称之为树枚举法或K-树法，已推广到用来求解包括受控源、变压器等元件的电路问题。

另一类拓扑方法是把电流、电压等物理量之间的代数关系用线图表示出来，再根据线图的简化规则或公式得出各种函数，其中典型的方法是信号流图法。拓扑分析方法使得对电路问题的求解转化为借助计算机来寻找线图的树、回路、路径等。但是，随着电路节点数和支路数的增加，对应线图中树和回路数目将急骤增加，因而不宜用这种方法分析规模较大的电路。