什么是非线性系统理论?

什么是非线性系统理论?

[拼音]：feixianxing xitong lilun

[外文]：nonlinear systems theory

自动控制理论中研究非线性系统（见非线性控制系统）的运动规律和分析方法的一个分支。严格说，现实中的一切系统都是非线性系统，线性系统只是为了数学处理上的简化而导出的一种理想化的模型。非线性系统的一个最重要的特性是不能采用叠加原理来进行分析，这就决定了在研究上的复杂性。非线性系统理论远不如线性系统理论成熟和完整。由于数学处理上的困难，所以至今还没有一种通用的方法可用来处理所有类型的非线性系统。

非线性现象

非线性系统理论的研究对象是非线性现象,它是反映非线性系统运动本质的一类现象,不能采用线性系统的理论来解释。主要的非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波振荡、自激振荡、频率捕捉、异步抑制、分岔和混沌等。

频率对振幅的依赖性

这种非线性现象只出现在一类非线性系统的自由振荡中。一个著名例子是由杜芬方程

m尦 + f凧 + kx + k'x3＝0

所描述的一类机械系统（图1）的自由振荡。式中m是重物的质量，x是重物的位移，凧和尦分别是x的一阶和二阶导数，f是阻尼器的粘性摩擦系数，kx+k'x3表示非线性d簧力。参数 m、f 和k均为正的常数。参数k'为正时称为硬d簧，k' 为负时称为软d簧。使重物有一个初始位移后，系统即产生自由振荡。从实验中可观察到：在k'为正时，随着自由振荡振幅的减小，频率值增大；在k'为负时，随自由振荡的振幅减小，频率值减小。图2中：k'＝0时的波形有7个峰，且间距相等，表明频率不随振幅的减小而变，k'＞0时达到第7个峰的时间较k'＝0时的短；表明频率随振幅的减小而增加;k'＜0时在相同的时间内只有6个波表明频率随振幅的减小而减小。

多值响应和跳跃谐振

这种非线性现象出现在一类非线性系统的强迫振荡中。一个典型例子是在如图1的系统的重物上加形式为 Pcosωt 的外力时所激发的强迫振荡。实验时，让外力作用函数的振幅P保持常值，缓慢地改变频率ω，观察重物作强迫振荡时的振幅X。反映多值响应和跳跃谐振的特性曲线如图3。当频率增大到某个极限值（如点2）或减小到某个极限值（如点5）时，强迫振荡的振幅X都会产生跳跃现象;而在这两个极限值所限定的频率范围内，对于同一频率的外作用函数，可能出现两个在幅值和相位上都不相同的强迫振荡。

分谐波振荡

这种非线性现象只出现在某些非线性系统的稳态振荡中。分谐波振荡被激发后，在一定的频率范围内，不管外作用函数的频率ω如何改变，稳态振荡的频率始终为ω/n,其中n为某个正整数称为分谐波振荡的阶数。分谐波振荡的产生取决于系统的参数，并且必须在某种冲击，如突然改变外作用函数的振幅或频率。

自激振荡

又称极限环，是非线性系统中一类很重要的和得到广泛研究的非线性现象（见相平面法）。

频率捕捉

这种非线性现象可能在出现极限环的一些非线性系统中观察到。对一个能出现频率为ω0的极限环的系统,加上一个频率为ω的周期性外作用,改变（增大或减小）ω的数值使两者的差值减小。从实验中发现，在差值达到某个极限值后，极限环的频率ω0和外作用频率ω取得同步，亦即ω0为ω所捕捉。发生捕捉现象的频带区称为捕捉区。表示频率捕捉现象的特性曲线如图4,横坐标上的区间Δω为捕捉区。

异步抑制

又称信号稳定。其机制是，采用使系统处于频率为ω1的强迫振荡状态，来抑制和避免系统中可能出现的频率为 ω0的极限环振荡。这里两个频率ω1和ω0是互不相关的。

分岔

在很多实际系统中都能见到的，运动稳态点会随着系统参数变动到临界值而不断发生分岔的一种非线性现象（见分岔理论）。

混沌

1963年气象学家E.N.洛伦茨在研究天气预报问题的大气对流模型的数值实验中首先发现的一种非线性现象。其特点是某些非线性系统在一定参数范围内变得对初始条件非常敏感，会导致非周期的、看起来很混乱的输出。后来，在生态系统等研究中也发现混沌现象。80年代以来，关于混沌的研究已成为一个非常活跃的领域，得到了一些严格的数学结果，但更多的是计算机实验，真正的物理实验也在日益增多。

主要分析方法

对于非线性系统尚未建立起象线性系统的分析那样成熟和系统的一套方法，在应用上比较有效的主要方法有四种。

等效线性化方法

主要用于分析非线性程度较低的非线性系统。其实质是把非线性问题近似地加以线性化，然后去解决已线性化的问题。描述函数法、分段线性化法、小参数法等都属于这种方法。

直接分析方法

建立在直接处理系统的实际的或简化后的非线性微分方程基础上的分析方法，不管非线性程度的高低都可适用。相平面法、李雅普诺夫第二方法（见李雅普诺夫稳定性理论）等都属于这种方法。

双线性系统理论

对于双线性系统这一特殊类型非线性系统建立的分析和综合方法。

流形上的控制理论

这一理论的发展始于70年代初期，它是以微分几何为主要数学工具的一种分析方法。流形上的控制理论为非线性系统的研究提供了一条新的途径，可用以研究非线性系统的某些全局和局部性质。

发展趋势

60年代以来，非线性系统理论的发展进入了一个新阶段。对分岔现象和混沌现象的研究已成为非线性系统理论中很受重视的一个方向。突变理论、耗散结构理论和协同学这些也以非线性系统为研究对象的新兴学科相继出现，它们的方法和结果将对非线性系统理论乃至整个系统科学产生重要影响。此外，随着微分几何方法（特别是微分流形理论）引入于非线性系统的研究并得到了某些有意义的结果，非线性泛函分析、奇异摄动方法和大范围分析等现代数学分支也已开始用于非线性系统理论的研究。

参考书目

W.J.Cunningham， Introduction to Nonlinear Analysis, McGraw-Hill, New York, 1958.M.Vidyosagar， Nonlinear Systems Analysis，Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1978.