连续统假设是什么?

[拼音]：lianxutong jiashe

[外文]：continuum hypothesis

G.F.P.康托尔提出的集合论中的一个著名假设。在康托尔以前，数学家们对无穷的理解一直是混沌一团，尽管有很多关于无穷的争论，但谁也没想到无穷也有大小之分。康托尔用他创造的著名的对角线方法，首次证明任给集合X， X的基数都小于X的幂集 ∮(X)的基数，即｜X｜＜｜∮(X)｜。具体地说，有 ｜ω｜＜｜∮(ω)｜，即自然数集的基数小于实数集的基数，这就是说无穷集并不都一样大。由此，很自然地引起一个问题，即自然数集的基数埲和实数集的基数 2埲之间还有没有其他基数？这就是所谓连续统问题。康托尔猜测不存在这种基数，也就是说任给无穷的实数集X，|X|=埲或｜X｜=2埲。这一断定称为连续统假设。推而广之，有广义连续统假设，指对任意的无穷基数k，不存在基数 λ使得k＜λ＜2k。连续统假设记作CH，广义连续统假设记作 GCH。如果承认选择公理，从而使每个基数都是一个堗，CH和GCH又可分别写作2埲=堗1和凬a(2埲=堗a+1)。

100 多年来连续统假设一直是数学家们瞩目的问题。康托尔曾说过他证明了CH，但后来再没见他提起。1900年D.希尔伯特提出著名的23个数学问题，赫然列在首位的就是CH。1905年J.克尼希获得了一项实质性的研究结果，即可以在ZFC系统中推出cf(2埲)＞埲，从而2埲不会等于任何与ω共尾的基数，如堗ω，堗ω+ω等等。这事实上是迄今为止有关 2埲大小的唯一一项比较确定的结果。1938年，K.哥德尔完成了 GCH的相对一致性证明。1963年后，美国学者P.J.科恩又证明CH是独立于 ZFC的。这两项结果表明人们无法在 ZFC中对CH作出判断。