数学基础是什么?

[拼音]：shuxue jichu

[外文]：foundations of mathematics

研究数学中具有普遍性和本质性问题的理论。这些问题大体可以分为两类：一类是数学中的逻辑问题，如公理系统的协调性、形式体系化、元数学等；另一类是与纯数学中的理论问题有关的哲学问题，如数学命题和原理的真理性、数学无穷的可接受性、数学对象的本体论解释等。对这些问题的研究和解释与逻辑和哲学有密切关系。

在数学发展史中，数学基础曾出现过三次危机。第一次危机是在古希腊时期由毕达哥拉学派（见毕达哥拉和毕达哥拉学派）在研究直角三角形边长的解时引起的。这个学派发现，两条直角边相等的直角三角形，其斜边与任一直角边无公度，即任选一线段作为单位后，两者不能均为有理数。这一发现不仅冲击了当时毕达哥拉学派关于“数是万物的本原”的观念，而且也冲击了当时认为有理数可以表示一切量的观念，并给早期的数论、几何等问题的研究带来了一些困难，但同时也促进了几何学的发展。第二次危机是在17世纪随着微积分的发明而产生的。微积分的核心是“无穷小的分析”，但微积分的创建者对无穷小这一概念并未给出严格定义，只是作了一些不能自圆其说的解释，因而始终无法摆脱无穷小是零还是非零的逻辑困境，由此也遭到一些数学家的非难。微积分经过 100多年的发展和关于基础问题的争论，终于在19世纪初形成了对数学分析的批判运动。数学家们在这个批判运动中对变量的极限概念给予数学形式的定义，并通过极限概念定义无穷小量，从而使微积分有了一个初步能为大多数数学家接受的逻辑基础。从19世纪下半叶起，在数学基础研究中力图使微积分基础更严格的工作沿着分析算术化的方向发展。同时，由于德国数学家G.F.P.康托尔对函数展开为三角级数的唯一性问题的研究，从而建立了集合论。集合论是人类认识史上第一个关于无穷的数学理论，它使无穷概念发生了一次革命性的变革，并对逻辑和哲学产生了深远的影响。集合论通过集合、基数、序数、序型等概念揭示出数概念的本质属性，因而到19世纪末，数学家就认为它可以作为数学严格化的基础，并用集合的概念给数下定义，从而减少数学中不定义的概念。所以，数学家们认为分析不仅可以算术化，而且已经找到一个完全严格的基础──集合论。可是，集合论建立不久，数学家、逻辑学家就发现其中的一些悖论。例如，希拉里-弗蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论。前两个悖论涉及到集合论中比较专门的概念。康托尔认为，只要把集合论中的某些概念作适当的修改和限制，就可以避免悖论。但罗素悖论却触及到整个集合论中最基本的概念──集合、类与分子的从属关系，从而使数学基础发生了第三次危机。

为了摆脱危机，使集合论成为可靠的数学基础，德国数学家E.策尔梅洛(1871～1953)把康托尔的集合论加以公理化，并在1908年给出第一个公理化的集合论系统。这个系统后来经A.A.弗兰克尔(1891～1965)、T.司寇伦(1887～1963)的改进，成为一个标准的公理化集合论系统，简称ZF系统。在这个系统中，罗素悖论虽然消除了，但围绕着集合论中的一些问题，数学家们仍在继续争论。例如，公理集合论的相容性尚未得到证明，人们对它并不放心；选择公理是建立分析学、拓扑学以及抽象代数所需要的，但有人反对使用它，因为在无穷集合中无法进行无穷多次的选择；有的数学家还反对把排中律应用到无穷集合中。

针对数学基础的第三次危机，数学家们各自从不同的哲学观点出发，解释危机的实质，并提出解决问题的方案，由此形成直觉主义、形式主义和逻辑主义三个主要派别，从中反映了各自的数学哲学观。以L.E.J.布劳维尔为代表的直觉主义拒绝接受非构造性的存在证明，反对排中律在无穷推理中的应用，认为数学是心智的构造。后来，A.海廷进而给出一个直觉主义的逻辑体系。直觉主义要求数学对象是可构造的，认为把数学限制在能行的思维范围内，不利于数学的发展。它强调数学对象的可构造性，促进了构造性数学的发展。D.希尔伯特为了避免悖论，保卫古典数学，提出了一个解决数学基础问题的方案，即首先把数学理论变成形式系统，然后用有穷方法证明形式系统的无矛盾性。有的数学哲学家把这一方案看作是形式主义的。希尔伯特从这一方案出发，建立了元数学，发展了有穷主义的证明论。1931年K.哥德尔的不完全性定理的发表沉重打击了希尔伯特方案，迫使形式主义扩充有穷方法，把超穷归纳法也作为证明论的工具。以B.A.W.罗素、A.N.怀特海为代表的逻辑主义，则试图把数学归结为逻辑，并通过类型论消除悖论。但是，不完全性定理也说明逻辑主义的计划是行不通的。事实上，逻辑主义也没有真正从一个纯粹的逻辑公理系统推出全部数学。

由于上述三个主要学派改造数学的方案都没有实现，所以柏拉图主义（见柏拉图）在数学基础研究中又活跃了起来。持这种观点的数学家往往自称是新柏拉图主义。他们企图对数学命题和原理的客观性作出全面的解释。虽然他们承认数学对象独立于思考它们的人脑之外，是客观实在的一个方面，但又认为这种存在不同于外部世界物质性的存在。在柏拉图主义者中，除了数学实在论观点外，还有的人持概念实在论观点。

20世纪60年代，在数学基础的研究中又出现了经验主义。经验主义者认为，大半个世纪的数学基础研究表明，企图沿着形式化道路，借助证明论的方法，在形式系统内部解决数学的真理性问题是不可能的，数学基础的问题应该回到经验中去解决。

参考书目

P.Banacerraf and H.Putnam， ed.， Philosophy of Mathematics， Prenthce，Inc.，New Jersey，1964.J.van Heijenoort ed.，From Frege to Godel:a so-urce book in mathematical Logic 1879～1931， Harvard University Cambridge Massachusetts， 1967.A.A.Fraenkel， Y.Ban-Hillel and A.Levy， Foundations of Set Theory，North-Holland，Amsterdam，1973.