烧脑的泰勒级数，说来说去说不明白？这次好像说明白了

烧脑的泰勒级数，说来说去说不明白？这次好像说明白了

目录

1 指数函数

2 数列和级数

3 幂级数Power series

4 某个附近的线性逼近

5 泰勒多项式

6 泰勒定理

7 泰勒级数和麦克劳林级数

1 指数函数

指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减。

2 数列和级数

一个数列是数a1,a2,a3,…,an,…的有序列。

无穷级数是数的和：a1+a2+a3+……+an+…

两者都有收敛到极限的概念，但求法和含义不一样。

如调和级数1+1/2+1/3+1/4+1/5+…发散，尽管级数的项趋于零。

3 幂级数Power series

4 某点附近的线性逼近

如果函数f在a处可导，则f在a的附近可用切线逼近；切线提供f在a点的线性逼近。点(a,f(a))处的切线方程是

y-f(a) = f'(a)(x-a) 或 y = f(a) + f'(a)(x-a)

因为线性逼近函数是一次多项式，我们记它为

如果f在a附近的斜率接近是常数，则线性逼近效果好。然而如果f在a附近的曲率大，则切线可能不是好的逼近。为修正这种情况，我们通过在线性多项式上加一项来构造二次项逼近。记这个新二次多项式为

5 泰勒多项式

6 泰勒定理

设f在包含a的开区间I上有直到n+1阶的连续导数。对I内的所有x，

7 泰勒级数和麦克劳林级数

8 总结

8.1 理解泰勒级数一定要理解幂函数(x-a)^n或x^a。

8.2 对于泰勒级数中的(x-a)^n。x必须是在a附近很小的范围内取值，如果x-a的取值为-1<x-a<1，则(x-a)^n的值是同n单调递减的。

8.3 对于麦克劳林级数中的x^n。x必须是在0附近很小的范围内取值，如果x的取值为-1<x<1，则x^n的值是同n单调递减的。

8.4 如你想求一个函数在1.997或2.003处的值，你就可以设置中心为2，则x-2就是一个介于-1和1之间的很小的值。

8.5 如想求√(18)的值，可以设f(x)=√x，选择中心为16。

8.6 需要注意的是，n阶导数除了是正数外，有可能是负数或0。

8.7 对于一个函数在某点a附近(也就是x-a)的近似求法，可以转换为函数在点a的值+Σ函数在点a处的n阶微分。在我们的教科学中，有n阶导数、n阶积分，没有n阶微分一说，在这里，n阶微分可能理解为：

8.8 如是两个函数在某点的值相等，且在某点的n阶导数相等（暗含n阶微分相等），那两个函数在该点附近的值是近似的。

－End－