魔方结构
魔方的组成三阶魔方是由3×3×3-1=26个小立方体组成的立方体，有6个面(缩小后每个面颜色相同，共6种颜色)，每个面有9个小面，共54个小面。26个小方块包括6个中心块(只有一个可见表面)、12个边缘块(两个可见表面)和8个角块(三个可见表面)。
魔方的还原魔方的每个面都可以随意绕轴旋转。随便旋转几个面，魔方的颜色就会变得斑驳。改变这种状态，使每个面上的所有刻面都具有相同的颜色，这就是所谓的魔方还原。缩小过程其实就是根据每个中心块的颜色，对边缘块和角块进行“上色”和“对齐”。
魔方中的数学
魔方中的排列和组合
根据排列组合中的乘法和加法原理，有8个三阶魔方！×38×12!×212个3×2×2状态。除了轴固定的6个中心块，还剩下20个小块，8个角块放在8个角位，都是8排！每个角块的三种颜色因为方向不同有三种方法，所以有8种！× 38排列；同样，总共有12根肋骨！×212种排列。
但在魔方还原过程中，当其他小块保持不动时，一个角块的方位、一个角块的方位、一对角块或一对对角块的位置都不能独立改变，所以需要去掉3×2×2。因此，几乎不可能靠运气把一个斑驳的魔方恢复到同样的颜色。
魔方的对称性
对称性是一个几何图形φ的如下性质:φ在一个变换群G的作用下映射到自身，称为对称群。如果变换群G是一条直线，那么几何图形φ是关于直线G的对称图形；如果变换群G是一个点，那么几何图形φ就是以点G为中心的对称图形。
若以点G为中心的对称图形φ在平面内绕G旋转360°/N(N(N为整数)然后与自身重合，则φ具有N阶对称性，G称为其对称中心。如图A所示，B和C分别是以O为中心的二阶、四阶和三阶对称。这种对称性在立方体中得到了充分的展现，但是在空中，围绕平面中一点的旋转被围绕一条直线的旋转所取代。
三阶立方体魔方具有二阶、三阶、四阶对称轴，是除球体以外的其他物体无法比拟的[1]。魔方的还原过程在于旋转过程中魔方色块的交换。对于魔方的每一层，每次旋转都是围绕该层的中心块，这样点与点之间的距离就保持不变空
三个立方体组
魔方旋转是指将魔方某一面上的所有方块顺时针(面向正面)旋转90°。相应的，如果逆时针旋转，就叫反向运动。为了记录混乱和恢复的过程，习惯上使用大卫·辛马斯特尔发明的符号来书写。英文的第一个字母Up(上)、Down(下)、Front(前)、Back(后)、Left(左)、Right(右)分别代表魔方的上、下、前、后、左、右的旋转；用小写字母U、D、F、B、L、R来表示每个面和对应的中心块；Xy用来表示立方体位于X平面Y位置的小面，比如uf表示位于U(上)平面F(前)位置的小面；Xyz用于表示角块位于X平面yz位置的刻面，如ufr表示位于U(上)平面fr(右前)位置的刻面。
旋转魔方的任意一个面时，该面所在层的中心块不会改变，其他20个小面的位置会相应改变。这样的旋转可以用一系列刻面的排列来表示:u =(ulburfurufl)(uburuufl)(bulrubfurluf)(burrufuulu)(brurfuulu)d =(dbldlfdfdrb)(dbdldfdr)(bldllffrbd)(BD LD FD rd)(BDR ldb fdl rdf)F =(flu fur frd fdl)(fu fr FD fl)(ufl rfu DFR lfd)(uf RF df lf)(URF rdf dlf luf)B =(bul bld
设G= U，D，F，B，L，R是魔方所有旋转产生的集合。可以证明集合形成一个以合成为运算的群，称为魔方群。它是一个循环群，其生成元是上述一系列刻面的置换。G中的元素代表所有的排列，在魔方变换的所有状态中都可以找到对应的元素。魔方通过一系列的变化从还原状态恢复，从而实现一个循环。其实G中的元素是可以通过周期运算实现的，从中可以看出魔方归约和循环群的共性。
当厄尔诺·鲁比克教授发明魔方时，它被用作教学工具，帮助学生在空之间增强思维能力。
通过观察和分析，我们不仅能发现魔方中蕴含的数学知识，还能看到魔方中的教学因素:
通过魔方的外观展示和结构分析，帮助学生建立三维模型的大致思路，强化空的概念。
通过魔方归约，让学生深刻感受到替代和循环，理解群论的相关概念。
从外观上简单的立体图形到还原过程中的各种变换，有助于学生学习和提高逻辑思维能力。
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