直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

直角三角形斜边中线定理：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这是数学中关于直角三角形的一个定理。

【证明方法】

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D

∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD∠C’AD=∠AC’D（等边对等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D=180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90°即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’在直线AC上

又∵C与C’在直线BD上，AC与BD相交

∴C与C’重合（也可用垂直公理证明：假使C与C’不重合由于CA⊥AB，C’A⊥AB故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直这就与垂直公理矛盾∴假设不成立∴C与C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理。

【成立的逆命题】如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

证明：以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以该逆命题成立。